Chứng minh rằng: a) sin^4 x + cos^4 x = 1 − 2sin^2 x cos^2 x

Lời giải Bài 9 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

1 9,564 07/01/2025

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 9 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin⁴ x + cos⁴ x = 1 − 2sin² x cos² x;

b) sin⁶ x + cos⁶ x = 1 – 3sin² x cos² x.

*Lời giải

a) VT = sin⁴ x + cos⁴ x

= (sin² x)² + (cos² x)² + 2sin² x . cos² x – 2sin² x . cos² x

= (sin² x + cos² x)² – 2sin² x . cos² x

= 1² – 2sin² x . cos² x = 1 – 2sin² x . cos² x = VP (đpcm).

b) VT = sin⁶ x + cos⁶ x

= (sin² x)³ + (cos² x)³

= (sin² x + cos² x)³ – 3sin² x cos² x(sin² x + cos² x)

= 1³ – 3sin² x cos² x . 1

= 1 – 3sin² x cos² x (đpcm).

*Phương pháp giải

Áp dụng các công thức về lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết cần nắm thêm

1. Góc hình học và số đo của chúng

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: $180^{o} = π$ rad, do đó 1 rad $= {(\frac{180}{π})}^{o}$ , $1^{o} = (\frac{π}{180})$ rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{π}{2}$ rad cũng được viết là $\frac{π}{2}$ .

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $(O u \equiv O^{'} u^{'})$ , tia cuối trùng nhau $(O v \equiv O^{'} v^{'})$ .

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 360^{o}, k \in Z .$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$(O u, O v) = (O^{'} u^{'}, O^{'} v^{'}) + k 2 π, k \in Z .$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+ k 2 π, k \in Z .$

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x =$ cos $α$ , $y =$ sin $α$ .

tan $α$ $= \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y}{x} (x \neq 0)$

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x}{y} (y \neq 0)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $α$

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 3)

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l} \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \\ 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} (α \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z) \\ 1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} (α \neq k π, k \in Z) \\ \tan α . \cot α = 1 (α \neq \frac{k π}{2}, k \in Z) \end{array}$