Đáp án đúng là: D

*Lời giải

Ta có $2^{x+1}<4\iff 2^{x+1}<2^2\iff x+1<2\iff x<1$.

Vậy tập của bất phương trình là $\left(-\infty ;1\right)$.

*Phương pháp giải

*Một số dạng bài về bất phương trình mũ

Dạng 1:

 Dạng 2:

Dạng 3: a^f(x) > b(*)

Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

$\left(P\right):x+y+z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=\left(1;1;1\right)$.

*Phương pháp giải:

Nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k$\overrightarrow{n}$(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

*Lý thuyết

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.

3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Xem thêm

Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng (hay, chi tiết)

120 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao 

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

Ta có vectơ pháp tuyến của $\left(Oxy\right)$ và $\left(Oyz\right)$ lần lượt là $\overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{i}$.

Vì $\overrightarrow{k}\perp \overrightarrow{i}$ nên $\left(\widehat{\left(Oxy\right);\left(Oyz\right)}\right)=90°$.

*Phương pháp giải:

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ

⇒ cosα ⇒ φ

Cách 3. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.

+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp

+ Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ

+ Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β)

⇒ ((α), (β)) = (a, b)

*Cách giải và các dạng bài toán về

1. Góc giữa 2 mặt phẳng là gì?

- Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

2. Tính chất của góc giữa 2 mặt phẳng

Từ định nghĩa trên ta có:

- Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,

- Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

3. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến ∆ của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.

⇒ Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Góc giữa hai mặt phẳng (lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải 

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là $V=a^3=2^3=8.$

*Phương pháp giải:

- áp dụng công thức tính thể tích khối lập phương:

V = a × a × a

* Các lý thuyết thêm và dạng bài tập về khối lập phương:

Quy tắc: Muốn tính thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với cạnh.

V = a × a × a = a³

- Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là S = a²

- Diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là Stp = 6a²

- Độ dài đường chéo của hình lập phương là d = $a\sqrt{3}$

- Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là $a\sqrt{2}$

- d(A, (A'BD)) = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

d(A, (CB'D')) = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

- d (AC', CD) = d(AC', A'B') = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Dạng 1: Tính thể tích hình lập phương khi biết độ dài cạnh

Phương pháp: Muốn tính thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với cạnh.

Dạng 2: Tính thể tích hình lập phương khi diện tích xung quanh hoặc diện tích toàn phần

Phương pháp: Tính diện tích một mặt sau đó tìm lập luận để tìm độ dài cạnh.

Dạng 3: Tính độ dài cạnh khi biết thể tích

Phương pháp: nếu tìm một số a mà a x a x a = V thì độ dài cạnh hình lập phương là a.

Dạng 4: So sánh thể tích của một hình lập phương với thể tích một một hình hộp chữ nhật hoặc với một hình lập phương khác 

Phương pháp: Áp dụng công thức để tính thể tích từng hình rồi so sánh.

Dạng 5: Toán lời văn

Phương pháp: Đọc kĩ đề bài, xác định dạng toán và yêu cầu của đề bài rồi giải bài toán đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Chuyên đề Thể tích khối đa diện - Toán 12

50 bài toán về thể tích khối đa diện (có đáp án 2024) – Toán 12 

Đáp án đúng: C

*Lời giải:  

Hình nón có đường kính đáy 2r nên nó có bán kính đáy bằng l. Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng $\pi rl.$

*Phương pháp giải:

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về hình nón: 

Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

Trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

Trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O’

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

Diện tích hình nón và thể tích khối nón.

Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:

- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

- Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón.

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

- Diện tích đáy: $S_d=\pi r^2$

- Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=S_{xq}+S_d=\pi rl+\pi r^2$

Thể tích của khối nón:

- Thể tích của khối nón có bán kính r và chiều cao h là:

$V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy

Tam giác SAO vuông tại A, có $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2$

Do đó: $l^2=h^2+R^2$ (tham khảo hình vẽ dưới)

Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích

Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq}=\pi rl$

Diện tích toàn phần hình nón: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$

Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Trong đó: h là chiều cao, r là bán kính đáy và l độ dài đường sinh của hình nón.

Dạng 2: Tương giao giữa nón và mặt phẳng, bài toán thiết diện

Phương pháp giải:

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

Dạng 3: Sự tạo thành nón

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa mặt nón, hình nón, khối nón và các công thức liên quan.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Ôn tập chương 2 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài toán về mặt nón và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2024) – Toán 12

Chọn D

Ta có $x\in \left(1;3\right)$ thì $f\text{'}\left(x\right)<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$.

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường $y=-x^2+2x$ và đường $y=0$ là

$-x^2+2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$.

Thể tích là $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(-x^2+2x\right)}^2\text{d}x=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-4x^3+4x^2\right)\text{d}x=\pi \left(\frac{x^5}{5}-x^4+4.\frac{x^3}{3}\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.=\frac{16\pi }{15}$.

*Phương pháp giải:

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$

* Các lý thuyết thêm về thể tích khối tròn xoay:

 Công thức tính thể tích khối tròn xoay

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$

* Quay quanh trục Oy:

Hình giới hạn bởi đường cong x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c; y = d (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [c; d]) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(y\right)\right]}^{2}dy$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ứng dụng hình học của Ứng dụng hình học của tích phân– Toán lớp 12 Cánh diều

Công thức tính thể tích khối tròn xoay (đầy đủ, chính xác nhất) 

50 bài toán về ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có đáp án 2024) – Toán 12

Chọn C

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng $y=f\left(x\right)$.

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Phương trình $f\left(x\right)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng $d:y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại ba điểm phân biệt, tức là $-3<m<1$. Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-2;-1;0\right\}$.

Đáp án đúng: C

*Lời giải:  

- Gọi $O=AC\cap BD$, H  là trung điểm CD. Trong $\left(SOH\right)$, kẻ $OI\perp SH$.

Có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp SO\\ CD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOH\right)\Rightarrow CD\perp OI$.

Mà $OI\perp SH$ nên $OI\perp \left(SCD\right)$ $\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OI$.

- Vì O là trung điểm BD nên $d\left(B,\left(SCD\right)\right)=d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2OI=\frac{2SO.OH}{\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}}$.

Có $AD=AC\sin 45°=a\sqrt{2}$, $OH=a\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow d\left(B,\left(SCD\right)\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.

*Phương pháp giải:

 - vẽ hình và xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD = d(O,(SCD))

+ kẻ đường cao từ tâm O đến trung đoạn SH của mặt phẳng SCD. Khi đó khoảng cách = OI 

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về khoảng cách một diểm đến một mặt phẳng:

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

- Kí hiệu: d (M, (P)) = MH

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho hệ tọa độ không gian Oxyz, cho điểm M có tọa độ như sau: ($\alpha ;\beta ;\gamma$). Cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng: ax + by + cz + d = 0.

Công thức tổng quát tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính như sau:

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ $M(x_0;y0;z_0)$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

$d(M,(P\left)\right)=\frac{\left|}{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}.$

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) ta thực hiện các bước như sau:

+) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng (P).

+) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ được xác định bởi công thức:

$d(M,d)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (lý thuyết, công thức, cách tính) và bài tập có đáp án

50 bài toán về khoảng cách trong không gian (có đáp án 2024) – Toán 12

200 bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian và cách giải (2023) có đáp án

Chọn D

Ta có: $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$

$\left\{\begin{array}{l}F\left(4\right)+G\left(4\right)=4\\ F\left(0\right)+G\left(0\right)=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2F\left(4\right)+C=4\\ 2F\left(0\right)+C=1\end{array}\right.\iff F\left(4\right)-F\left(0\right)=\frac{3}{2}.$

Vậy: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(4\right)-F\left(0\right)=\frac{3}{2}.$

Đáp án đúng là B

Lời giải

Ta có: $y\text{'}=-4x^3+12x+m$. Xét phương trình $y\text{'}=0\iff -4x^3+12x+m=0\left(1\right)$.

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: $\left(1\right)\iff m=4x^3-12x$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=4x^3-12x$ có $g\text{'}\left(x\right)=12x^2-12$. Cho $g\text{'}\left(x\right)=0\iff 12x^2-12=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên của $g\left(x\right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi $-8<m<8$.

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-7,-6,-5,\mathrm{...},5,6,7\right\}$.

Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.

*Phương pháp giải:

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀ là y'(x₀) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

*Lý thuyết:

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Xem thêm

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12