Đáp án đúng là: D

*Lời giải

Ta có $2^{x+1}<4\iff 2^{x+1}<2^2\iff x+1<2\iff x<1$.

Vậy tập của bất phương trình là $\left(-\infty ;1\right)$.

*Phương pháp giải

*Một số dạng bài về bất phương trình mũ

Dạng 1:

 Dạng 2:

Dạng 3: a^f(x) > b(*)

Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

$\left(P\right):x+y+z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=\left(1;1;1\right)$.

*Phương pháp giải:

Nếu là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k$\overrightarrow{n}$(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

*Lý thuyết

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.

3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Xem thêm

Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng (hay, chi tiết)

120 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nâng cao 

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

Ta có vectơ pháp tuyến của $\left(Oxy\right)$ và $\left(Oyz\right)$ lần lượt là $\overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{i}$.

Vì $\overrightarrow{k}\perp \overrightarrow{i}$ nên $\left(\widehat{\left(Oxy\right);\left(Oyz\right)}\right)=90°$.

*Phương pháp giải:

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ

⇒ cosα ⇒ φ

Cách 3. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.

+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp

+ Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ

+ Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β)

⇒ ((α), (β)) = (a, b)

*Cách giải và các dạng bài toán về

1. Góc giữa 2 mặt phẳng là gì?

- Khái niệm: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

2. Tính chất của góc giữa 2 mặt phẳng

Từ định nghĩa trên ta có:

- Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,

- Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

3. Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi P là mặt phẳng 1, Q là mặt phẳng 2

Trường hợp 1: Hai mặt phẳng (P), (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc của 2 mặt phẳng bằng 0,

Trường hợp 2: Hai mặt phẳng (P), (Q) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1: Dựng 2 đường thẳng n và p vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng (P), (Q). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa 2 đường thẳng n và p.

Cách 2: Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng đầu tiên bạn cần xác định giao tuyến ∆ của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Tiếp theo, bạn tìm một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ của 2 mặt phẳng (P), (Q) và cắt 2 mặt phẳng tại các giao tuyến a, b.

⇒ Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) là góc giữa a và b.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Góc giữa hai mặt phẳng (lý thuyết, công thức) các dạng bài tập và cách giải 

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là $V=a^3=2^3=8.$

*Phương pháp giải:

- áp dụng công thức tính thể tích khối lập phương:

V = a × a × a

* Các lý thuyết thêm và dạng bài tập về khối lập phương:

Quy tắc: Muốn tính thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với cạnh.

V = a × a × a = a³

- Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là S = a²

- Diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là Stp = 6a²

- Độ dài đường chéo của hình lập phương là d = $a\sqrt{3}$

- Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là $a\sqrt{2}$

- d(A, (A'BD)) = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

d(A, (CB'D')) = $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

- d (AC', CD) = d(AC', A'B') = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Dạng 1: Tính thể tích hình lập phương khi biết độ dài cạnh

Phương pháp: Muốn tính thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với cạnh.

Dạng 2: Tính thể tích hình lập phương khi diện tích xung quanh hoặc diện tích toàn phần

Phương pháp: Tính diện tích một mặt sau đó tìm lập luận để tìm độ dài cạnh.

Dạng 3: Tính độ dài cạnh khi biết thể tích

Phương pháp: nếu tìm một số a mà a x a x a = V thì độ dài cạnh hình lập phương là a.

Dạng 4: So sánh thể tích của một hình lập phương với thể tích một một hình hộp chữ nhật hoặc với một hình lập phương khác 

Phương pháp: Áp dụng công thức để tính thể tích từng hình rồi so sánh.

Dạng 5: Toán lời văn

Phương pháp: Đọc kĩ đề bài, xác định dạng toán và yêu cầu của đề bài rồi giải bài toán đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Chuyên đề Thể tích khối đa diện - Toán 12

50 bài toán về thể tích khối đa diện (có đáp án 2024) – Toán 12 

Đáp án đúng: C

*Lời giải:  

Hình nón có đường kính đáy 2r nên nó có bán kính đáy bằng l. Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng $\pi rl.$

*Phương pháp giải:

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về hình nón: 

Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

Trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

Trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O’

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

Diện tích hình nón và thể tích khối nón.

Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:

- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

- Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón.

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl$

- Diện tích đáy: $S_d=\pi r^2$

- Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=S_{xq}+S_d=\pi rl+\pi r^2$

Thể tích của khối nón:

- Thể tích của khối nón có bán kính r và chiều cao h là:

$V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy

Tam giác SAO vuông tại A, có $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2$

Do đó: $l^2=h^2+R^2$ (tham khảo hình vẽ dưới)

Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích

Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq}=\pi rl$

Diện tích toàn phần hình nón: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$

Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Trong đó: h là chiều cao, r là bán kính đáy và l độ dài đường sinh của hình nón.

Dạng 2: Tương giao giữa nón và mặt phẳng, bài toán thiết diện

Phương pháp giải:

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

Dạng 3: Sự tạo thành nón

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa mặt nón, hình nón, khối nón và các công thức liên quan.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Ôn tập chương 2 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài toán về mặt nón và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2024) – Toán 12

Đáp án đúng là B 

Lời giải

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Vậy đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là $\left(0;1\right).$

*Phương pháp giải:

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x_i ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(x_i).

4. Dựa vào dấu của f”(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

*Lý thuyết:

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu.

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $-\infty$; b là $+\infty$) và điểm x₀$\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x$\in$(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Xem thêm

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12 

Đáp án đúng là D

Lời giải

Ta có $x\in \left(1;3\right)$ thì $f\text{'}\left(x\right)<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$.

*Phương pháp giải

Quan sát đồ thị và kết luận

*Lý thuyết:

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>\text{}0;$ $\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

f(x) nghịch biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\text{\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x\in \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}K$ thì f(x) không đổi trên K.

- Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\right);\forall x\in K$

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Xem thêm

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2 + Bài Tập) – Toán 12 

Đáp án đúng là B

Lời giải

Ta có $\ln \left(3\text{a}\right)-\ln \left(2\text{a}\right)=\ln \frac{3\text{a}}{2\text{a}}=\ln \frac{3}{2}.$

*Phương pháp giải:

 Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Xem thêm

Lý thuyết Lôgarit (2024) và bài tập có đáp án 

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường $y=-x^2+2x$ và đường $y=0$ là

$-x^2+2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$.

Thể tích là $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(-x^2+2x\right)}^2\text{d}x=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-4x^3+4x^2\right)\text{d}x=\pi \left(\frac{x^5}{5}-x^4+4.\frac{x^3}{3}\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.=\frac{16\pi }{15}$.

*Phương pháp giải:

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$

* Các lý thuyết thêm về thể tích khối tròn xoay:

 Công thức tính thể tích khối tròn xoay

* Quay quanh trục Ox:

Hình giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

Hình giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$

* Quay quanh trục Oy:

Hình giới hạn bởi đường cong x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c; y = d (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [c; d]) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(y\right)\right]}^{2}dy$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ứng dụng hình học của Ứng dụng hình học của tích phân– Toán lớp 12 Cánh diều

Công thức tính thể tích khối tròn xoay (đầy đủ, chính xác nhất) 

50 bài toán về ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có đáp án 2024) – Toán 12

Chọn C

Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng $y=f\left(x\right)$.

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Phương trình $f\left(x\right)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng $d:y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại ba điểm phân biệt, tức là $-3<m<1$. Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{-2;-1;0\right\}$.

Đáp án đúng là A

Lời giải

Số cách lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^2=105$ cách

Để tổng hai số ghi trên hai quả cầu là số chẵn ta có 2 TH sau:

TH1: Hai quả cầu khác màu cùng đánh số lẻ: $C_3^1.C_5^1=15$ cách

TH2: Hai quả cầu khác màu nhau cùng đánh số chẵn: $C_3^1.C_4^1=12$ cách

Vậy xác suất cần tính là: $P=\frac{12+15}{105}=\frac{9}{35}.$

*Phương pháp giải

Bước 1: Liệt kê kết quả có thể xảy ra và viết không gian mẫu Ω.

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Bước 3: Tính xác suất

*Lý thuyết:

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

1. Quy tắc cộng

– Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc B. Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n cách.

Xem thêm

Lý thuyết Quy tắc cộng và quy tắc nhân – Toán 10 Chân trời sáng tạo

TOP 20 câu Trắc nghiệm Quy tắc cộng và quy tắc nhân (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án - Toán 10

Đáp án đúng: C

*Lời giải:  

- Gọi $O=AC\cap BD$, H  là trung điểm CD. Trong $\left(SOH\right)$, kẻ $OI\perp SH$.

Có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp SO\\ CD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOH\right)\Rightarrow CD\perp OI$.

Mà $OI\perp SH$ nên $OI\perp \left(SCD\right)$ $\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OI$.

- Vì O là trung điểm BD nên $d\left(B,\left(SCD\right)\right)=d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2OI=\frac{2SO.OH}{\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}}$.

Có $AD=AC\sin 45°=a\sqrt{2}$, $OH=a\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow d\left(B,\left(SCD\right)\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.

*Phương pháp giải:

 - vẽ hình và xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD = d(O,(SCD))

+ kẻ đường cao từ tâm O đến trung đoạn SH của mặt phẳng SCD. Khi đó khoảng cách = OI 

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về khoảng cách một diểm đến một mặt phẳng:

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

- Kí hiệu: d (M, (P)) = MH

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho hệ tọa độ không gian Oxyz, cho điểm M có tọa độ như sau: ($\alpha ;\beta ;\gamma$). Cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng: ax + by + cz + d = 0.

Công thức tổng quát tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính như sau:

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ $M(x_0;y0;z_0)$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

$d(M,(P\left)\right)=\frac{\left|}{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}.$

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) ta thực hiện các bước như sau:

+) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng (P).

+) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ được xác định bởi công thức:

$d(M,d)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (lý thuyết, công thức, cách tính) và bài tập có đáp án

50 bài toán về khoảng cách trong không gian (có đáp án 2024) – Toán 12

200 bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian và cách giải (2023) có đáp án