Cho hàm số $f\left(x\right)=\text{cos\hspace{0.17em}}x+x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng: D

*Lời giải:  

$\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \left[\text{cos\hspace{0.17em}}x+x\right]\text{d}x=\text{sin\hspace{0.17em}}x+\frac{x^2}{2}+C.$

*Phương pháp giải:

 

Áp dụng:

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

- Tính nguyên hàm từng cái:

+ nguyên hàm của cosx  = sinx

+ nguyên hàm của x = x²/x 

 

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về nguyên hàm:

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$\hspace{0.17em}=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$\hspace{0.17em}=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng $\int {\sin }^{m}x.{\cos }^{n}xdx$ trong đó m, n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ.

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của , để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

2. Dạng $\int \sin ax.\cos bxdx$;

$\int \sin ax.\sin bxdx$; $\int \cos ax.\cos bxdx$;

$\int \cos ax.\sin bxdx$.

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

3. Dạng $\int \frac{{\tan }^{m}x}{{\cos }^{n}x}dx$ trong đó m, n là các số nguyên.

4. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng $\sqrt{x^2+a^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{a^2-x^2}$, thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Nguyên hàm (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài toán về nguyên hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) – Toán 12

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án 2024) - Toán 12