Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi $F\left(x\right),G\left(x\right)$ là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn $F\left(4\right)+G\left(4\right)=4$ và $F\left(0\right)+G\left(0\right)=1$. Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)\text{d}x$ bằng

Đáp án đúng là D

Lời giải

Ta có: $G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$

$\left\{\begin{array}{l}F\left(4\right)+G\left(4\right)=4\\ F\left(0\right)+G\left(0\right)=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2F\left(4\right)+C=4\\ 2F\left(0\right)+C=1\end{array}\right.\iff F\left(4\right)-F\left(0\right)=\frac{3}{2}.$

Vậy: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(4\right)-F\left(0\right)=\frac{3}{2}.$

*Phương pháp giải:

Đặt Gx=Fx+C

Giải hệ phương trình

Giải ý mà đề bài yêu cầu

*Lý thuyết:

• Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(a\right)}{x-a}=f\left(a\right)$ và $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(b\right)}{x-b}=f\left(b\right)$.

• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx\left(k\ne 0\right)$.

Ví dụ 3. Hãy tìm $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx=\frac{1}{2}\int x^{3}dx=\frac{1}{2}.\frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{8}+C$ .

• Nguyên hàm của một tổng

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Hãy tìm:

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$; b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$ $=\int xdx-\int x^{2}dx$ $=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C$.

b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$$=5\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx$$=5.\frac{x^5}{5}+3.\frac{x^3}{3}+C$$=x^5+x^3+C$ .

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+) Hàm số lũy thừa

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\{0}.

- Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).

+) Hàm số lũy thừa y = x^α (α $\in$ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha x^{\alpha -1}$.

+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right)$.

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 5. Hãy tìm:

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$; b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$=\int \sqrt{x}dx-\int x^{2}dx$$=\int x^{\frac{1}{2}}dx-\int x^{2}dx$

$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}+C$ .

b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx$

$=\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C$.

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác

$\int \cos xdx=\sin x+C$;

$\int \sin xdx=-\cos x+C$;

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$;

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Ví dụ 6. Hãy tìm:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;

 

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=\int 2\cos xdx+\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=2\sin x-\cot x+C$.

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$$=\sqrt{2}\int \sin xdx+2\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=-\sqrt{2}\cos x+2\tan x+C$.

• Nguyên hàm của hàm số mũ

$\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$.

Ví dụ 7. Hãy tìm:

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$; b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$$=\int e^{x}dx-\int 2^{x}dx$$=e^x-\frac{2^x}{\ln 2}+C$ .

b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$$=\int xdx+\int {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}dx$$=\frac{x^2}{2}+{\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln \frac{1}{2}}}^x+C$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2^x\ln 2}+C$ .

Xem thêm

Lý thuyết Nguyên hàm– Toán lớp 12 Kết nối tri thức 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án 2024) - Toán 12