Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200m³ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 000/m² (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Xác định chi phí thấp nhất để xây bể (làm tròn đến triệu đồng).

Chọn C

Gọi chiều rộng của đáy bể là $x\left(m\right)(x>0)$

=> chiều dài của đáy bể là $2x\left(m\right)$

Gọi chiều cao của bể là $h\left(m\right)(h>0)$

Thể tích của bể là: $V=x.2x.h=200\Rightarrow h=\frac{200}{2x^2}=\frac{100}{x^2}$

Diện tích đáy là: $S_1=x.2x=2x^2\left( {\text{m}}^2\right)$

Diện tích xung quanh của bể là: $S_2=2.x.h+2.2x.h=6.x.h\left(m^2\right)$

Chi phí để xây bể là:

$\begin{array}{l}T=\left(S_1+S_2\right).300000=\left(2x^2+6xh\right)\cdot 300000\\ =\left(2x^2+\frac{600}{x}\right).300000\end{array}$

Ta có: $2x^2+\frac{600}{x}=2x^2+\frac{300}{x}+\frac{300}{x}\ge 3\cdot \sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{300}{x}\cdot \frac{300}{x}}\ge 3\cdot \sqrt[3]{180000}$

Dấu "=" xảy ra $\iff 2x^2=\frac{300}{x}\iff x^3=\frac{300}{2}=150\iff x=\sqrt[3]{150}$

Chi phí thấp nhất để xây bể là:

$T=3\cdot \sqrt[3]{180000}\cdot 300000\approx 50,815\cdot {10}^6$ (nghìn đồng) $\approx 51$ (triệu đồng)