Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=-x^4+6x^2+mx$ có ba điểm cực trị?

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Ta có: $y\text{'}=-4x^3+12x+m$. Xét phương trình $y\text{'}=0\iff -4x^3+12x+m=0\left(1\right)$.

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: $\left(1\right)\iff m=4x^3-12x$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=4x^3-12x$ có $g\text{'}\left(x\right)=12x^2-12$. Cho $g\text{'}\left(x\right)=0\iff 12x^2-12=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên của $g\left(x\right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi $-8<m<8$.

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-7,-6,-5,\mathrm{...},5,6,7\right\}$.

Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.

*Phương pháp giải:

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀ là y'(x₀) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

* Các lý thuyết thêm & dạng bài tập về bảng biến thiên và biện luận số nghiệm dựa vào phương trình hoặc đồ thị cho trước:

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2). Khi đó số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) sẽ bằng số giao điểm của (C1) và (C2)

1. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình

Cho phương trình f(x) = m. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = f(x). Trong đó đường thẳng y = m tịnh tiến trên trục Oy.

2. Cách biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m

a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số f(x) = m

- Ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng y = m xem nó cắt đồ thị y = f(x) tại mấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; ... hoặc vô nghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m.

b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị

- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1

- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị

Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x)

Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

- Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Xét dấu y' để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị của hàm số.

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Chú ý:

Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).

 

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12