Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

${\log }_3\left(x^2+y^2+x\right)+{\log }_2\left(x^2+y^2\right)\le {\log }_{3}x+{\log }_2\left(x^2+y^2+24x\right)?$

Đáp án đúng là  B

Lời giải

Điều kiện: x>0.

Ta có: ${\log }_3\left(x^2+y^2+x\right)+{\log }_2\left(x^2+y^2\right)\le {\log }_{3}x+{\log }_2\left(x^2+y^2+24x\right)$

$\iff {\log }_3\left(x^2+y^2+x\right)-{\log }_{3}x\le {\log }_2\left(x^2+y^2+24x\right)-{\log }_2\left(x^2+y^2\right)$

$\iff {\log }_3\left(\frac{x^2+y^2+x}{x}\right)\le {\log }_2\left(\frac{x^2+y^2+24x}{x^2+y^2}\right)$$\iff {\log }_3\left(1+\frac{x^2+y^2}{x}\right)\le {\log }_2\left(1+\frac{24x}{x^2+y^2}\right)$

$\iff {\log }_3\left(\frac{x^2+y^2}{x}+1\right)-{\log }_2\left(1+\frac{24x}{x^2+y^2}\right)\le 0.$

Đặt: $t=\frac{x^2+y^2}{x}(t>0)$, bất phương trình trở thành: ${\log }_3(1+t)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{t}\right)\le 0$ (1).

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_3(1+t)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{t}\right)$ có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{(1+t)\ln 3}+\frac{24}{\left(t^2+24t\right)\ln 2}>0,\forall t>0$.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Ta có $f\left(8\right)={\log }_3(1+8)-{\log }_2\left(1+\frac{24}{8}\right)=0$

Từ đó suy ra: $\left(1\right)\iff f\left(t\right)\le f\left(8\right)\iff t\le 8\iff \frac{x^2+y^2}{x}\le 8\iff {(x-4)}^2+y^2\le 16$.

Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x;y)$

Ta có: ${(x-4)}^2\le 16\iff 0\le x\le 8$, mà x>0 nên $0<x\le 8$.

Với $x=1,x=7\Rightarrow y=\{\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 10 cặp.

Với $x=2,x=6\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.

Với $x=3,x=5\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 14 cặp.

Với $x=4\Rightarrow y=\{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 9 cặp.

Với $x=8\Rightarrow y=0$ có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.

*Phương pháp giải:

Xét bất phương trình log_af(x) > log_ag(x) (a > 0, a ≠ 1)  

• Nếu a > 1 thì log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x) (cùng chiều khi a > 1)

• Nếu 0 < a < 1 thì log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x) (ngược chiều khi 0 < a < 1 )

• Nếu a chứa ẩn thì log_af(x) > log_ag(x) ⇔  (hoặc chia 2 trường hợp của cơ số)

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a,b > 0, a ≠ 1 

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log_af(x) > b; log_af(x) ≥ b; log_af(x) < b; log_af(x) ≤ b

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

+ Đưa về cùng cơ số

Nếu 

Nếu 

+ Đặt ẩn phụ

+ Mũ hóa

+ Phương pháp hàm số và đánh giá

Xem thêm

Bất phương trình logarit và cách giải các dạng bài tập (2024) 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit (có đáp án 2024) - Toán 12