Cho hình chóp đều SABCD có chiều cao a, AC=2a (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ điểm B  đến mặt phẳng (SCD).

Đáp án đúng: C

*Lời giải:  

 

- Gọi $O=AC\cap BD$, H  là trung điểm CD. Trong $\left(SOH\right)$, kẻ $OI\perp SH$.

Có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp SO\\ CD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOH\right)\Rightarrow CD\perp OI$.

Mà $OI\perp SH$ nên $OI\perp \left(SCD\right)$ $\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)=OI$.

- Vì O là trung điểm BD nên $d\left(B,\left(SCD\right)\right)=d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2OI=\frac{2SO.OH}{\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}}$.

Có $AD=AC\sin 45°=a\sqrt{2}$, $OH=a\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow d\left(B,\left(SCD\right)\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.

*Phương pháp giải:

 - vẽ hình và xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD = d(O,(SCD))

+ kẻ đường cao từ tâm O đến trung đoạn SH của mặt phẳng SCD. Khi đó khoảng cách = OI 

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về khoảng cách một diểm đến một mặt phẳng:

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

- Kí hiệu: d (M, (P)) = MH

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho hệ tọa độ không gian Oxyz, cho điểm M có tọa độ như sau: ($\alpha ;\beta ;\gamma$). Cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng: ax + by + cz + d = 0.

Công thức tổng quát tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính như sau:

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ $M(x_0;y0;z_0)$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

 

$d(M,(P\left)\right)=\frac{\left|}{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}.$

 

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) ta thực hiện các bước như sau:

+) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng (P).

+) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ được xác định bởi công thức:

$d(M,d)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (lý thuyết, công thức, cách tính) và bài tập có đáp án

50 bài toán về khoảng cách trong không gian (có đáp án 2024) – Toán 12

200 bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian và cách giải (2023) có đáp án