Giải Toán 10 trang 86 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 86 Tập 2

Bài 1 trang 86 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) d₁: 3x + 2y – 5 = 0 và d₂: x – 4y + 1 = 0;

b) d₃: x – 2y + 3 = 0 và d₄: – 2x + 4y + 10 = 0;

c) d₅: 4x + 2y – 3 = 0 và d₆: $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}+t\\ y=\frac{5}{2}-2t.\end{array}\right.$

Lời giải

a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y-5=0\\ x-4y+1=0\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình trên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y-5=0\\ x-4y+1=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}3x+2y=5\\ x-4y=-1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{7}\\ y=\frac{4}{7}\end{array}\right.$

Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right)$.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ có 1 điểm chung, có nghĩa là chúng cắt nhau tại giao điểm có tọa độ $\left(\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right)$

b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d₃ và d₄ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ -2x+4y+10=0\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình trên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ -2x+4y+10=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=-3\\ x-2y=5\end{array}\right.$.

Hệ trên vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d₃ và d₄ không có điểm chung, có nghĩa là d₃ // d₄.

c) Đường thẳng d₅ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_5}=\left(4;2\right)$.

Suy ra d₅ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_5}=\left(2;-4\right)$.

Đường thẳng d₆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_6}=\left(1;-2\right)$.

Ta có: $\overrightarrow{u_5}=2\overrightarrow{u_6}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{u_5},\overrightarrow{u_6}$ cùng phương. (1)

Ứng với t = 0, thay vào phương trình d₆, ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{5}{2}-2.0=\frac{5}{2}\end{array}\right.$.

Suy ra điểm M$\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$ thuộc đường thẳng d₆. (2)

Ta có: $4.\left(-\frac{1}{2}\right)+2.\frac{5}{2}-3=0$ ⇔ 0 = 0.

Do đó điểm M thuộc đường thẳng d₅. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai đường thẳng d₅ và d₆ trùng nhau.

Bài 2 trang 86 Toán 10 Tập 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng d₁: 2x – y + 5 = 0 và d₂: x – 3y + 3 = 0.

Lời giải

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1\right)$, đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;-3\right)$.

Do đó, ta có: cos(d₁, d₂) = $\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$$=\frac{\left|2.1+\left(-1\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy (d₁, d₂) = 45°.

Bài 3 trang 86 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) A(1; – 2) và Δ₁: 3x – y + 4 = 0;

b) B(– 3; 2) và  Δ₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$.

Lời giải

a) Khoảng cách từ A đến ∆₁ là:

$d\left(A,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|3.1-\left(-2\right)+4\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{9}{\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}{10}$.

b) Đường thẳng ∆₂ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(1;-2\right)$

Suy ra ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$.

Ứng với t = 0 thay vào phương trình ∆₂ ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+0=-2\\ y=1-2.0=1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm H(– 2; 1) thuộc ∆₂.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm H(– 2; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;1\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₂ là

2(x + 2) + 1(y – 1) = 0 hay 2x + y + 3 = 0.

Khoảng cách từ B(– 3; 2) đến ∆₂ là:

$d\left(B,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|2.\left(-3\right)+2+3\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Bài 4 trang 86 Toán 10 Tập 2: Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

Δ₁: mx – y + 1 = 0 và Δ₂: 2x – y + 3 = 0.

Lời giải

Đường thẳng ∆₁ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(m;-1\right)$, đường thẳng ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1\right)$.

∆₁ ⊥ ∆₂ 

$\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\iff \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$

⇔ m . 2 + (– 1) . (– 1) = 0

⇔ m = $-\frac{1}{2}$.

Vậy m = $-\frac{1}{2}$ thì hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau.

Bài 5 trang 86 Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; – 1), B(1; 2) và C(4; – 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Lời giải

+) $\overrightarrow{AB}=\left(-1;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(2;-1\right)$.

Ta có: $cos\widehat{BAC}=cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}$

$=\frac{\left(-1\right).2+3.\left(-1\right)}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\widehat{BAC}=135°$.

+) Ta có: cos(AB, AC) = $\left|cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy (AB, AC) = 45°.

Bài 6 trang 86 Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; 4), B(– 1; 2) và C(3; – 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Lời giải

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua B, cách đều A và C.

Giả sử $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Vì ∆ đi qua B(– 1; 2) nên phương trình đường thẳng ∆ có dạng

a(x + 1) + b(y – 2) = 0 hay ax + by + a – 2b = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0).

Vì ∆ cách đều A và C nên khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng khoảng cách từ điểm C đến ∆, tức là d(A, ∆) = d(C, ∆).

Mà d(A, ∆) = $\frac{\left|2a+4b+a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ và d(C, ∆) = $\frac{\left|3a-b+a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Do đó  $\frac{\left|2a+4b+a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|3a-b+a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Rightarrow \left|3a+2b\right|=\left|4a-3b\right|$

Trường hợp 1: 3a + 2b = 4a – 3b ⇔ a = 5b.

Chọn b = 1 thì a = 5 . 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là

5x + y + 5 – 2 = 0 hay 5x + y + 3 = 0.

Trường hợp 2: 3a + 2b = – (4a – 3b) ⇔ 7a = b.

Chọn b = 7 thì a = 7 : 7 = 1, ta có phương trình đường thẳng d là

x + 7y + 1 – 2 . 7 = 0 hay x + 7y – 13 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5x + y + 3 = 0 hoặc x + 7y – 13 = 0.

Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2: Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều  khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: $\left\{\begin{array}{l}x=3-35t\\ y=-4+25t\end{array}\right.$, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Giả sử đường đi của tàu A là đường thẳng ∆₁, phương trình tham số của đường thẳng ∆₁ là: $\left\{\begin{array}{l}x=3-35t\\ y=-4+25t\end{array}\right.$. Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(-35;25\right)$.

Đường đi của tàu B là ∆₂, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t), do đó phương trình tham số của đường thẳng ∆₂: $\left\{\begin{array}{l}x=4-30t\\ y=3-40t\end{array}\right.$. Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(-30;-40\right)$.

Khi đó $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|\left(-35\right).\left(-30\right)+25.\left(-40\right)\right|}{\sqrt{{\left(-35\right)}^2+{25}^2}.\sqrt{{\left(-30\right)}^2+{\left(-40\right)}^2}}=\frac{50}{250\sqrt{74}}=\frac{1}{5\sqrt{74}}$.

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là $\frac{1}{5\sqrt{74}}$.

b) +) Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của ∆₁ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=3-35.0=3\\ y=-4+25.0=-4\end{array}\right.$.

Do đó điểm A(3; – 4) thuộc ∆₁.

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(3; – 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(5;7\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của ∆₁ là:

5(x – 3) + 7(y + 4) = 0 hay 5x + 7y + 13 = 0.

+) Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của ∆₂ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=4-30.0=4\\ y=3-40.0=3\end{array}\right.$.

Do đó điểm B(4; 3) thuộc ∆₂.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(4; 3) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(4;-3\right)$.

Vậy phương trình tổng quát của ∆₂ là:

4(x – 4) – 3(y – 3) = 0 hay 4x – 3y – 7 = 0.

+) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}5x+7y+13=0\\ 4x-3y-7=0\end{array}\right.$.

Hệ trên có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{10}{43}\\ y=-\frac{87}{43}\end{array}\right.$.

Suy ra hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(\frac{10}{43};-\frac{87}{43}\right)$.

Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ $\left(\frac{10}{43};-\frac{87}{43}\right)$.

Thay tọa độ $\left(\frac{10}{43};-\frac{87}{43}\right)$ vào phương trình tham số ∆₁ ta được:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{10}{43}=3-35t\\ -\frac{87}{43}=-4+25t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{17}{215}\\ t=\frac{17}{215}\end{array}\right.\iff t=\frac{17}{215}$.

Vậy sau $\frac{17}{215}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất.

c) Tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên tàu A đứng ở vị trí có tọa độ A(3; – 4) (ứng với t = 0).

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B (đường thẳng ∆₂: 4x – 3y – 7 = 0).

Ta có: d(A, ∆₂) = $\frac{\left|4.3-3.\left(-4\right)-7\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{17}{5}=\mathrm{3,4}$.

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 81 Tập 2

Giải Toán 10 trang 82 Tập 2

Giải Toán 10 trang 83 Tập 2

Giải Toán 10 trang 84 Tập 2

Giải Toán 10 trang 85 Tập 2

Giải Toán 10 trang 86 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Mệnh đề toán học