Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Lời giải Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

1 42,721 22/11/2024


Giải Toán 10 Cánh diều Bài 4:Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2: hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: x=335ty=4+25t, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Giả sử đường đi của tàu A là đường thẳng ∆1, phương trình tham số của đường thẳng ∆1 là: x=335ty=4+25t. Đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương là u1=35;25.

Đường đi của tàu B là ∆2, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t), do đó phương trình tham số của đường thẳng ∆2: x=430ty=340t. Đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương là u2=30;40.

Khi đó cosΔ1,Δ2=35.30+25.40352+252.302+402=5025074=1574.

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là 1574.

b) +) Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của ∆1 ta có: x=335.0=3y=4+25.0=4.

Do đó điểm A(3; – 4) thuộc ∆1.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm A(3; – 4) và có một vectơ pháp tuyến là n1=5;  7.

Vậy phương trình tổng quát của ∆1 là:

5(x – 3) + 7(y + 4) = 0 hay 5x + 7y + 13 = 0.

+) Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của ∆2 ta có: x=430.0=4y=340.0=3.

Do đó điểm B(4; 3) thuộc ∆2.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(4; 3) và có một vectơ pháp tuyến là n2=4;  3.

Vậy phương trình tổng quát của ∆2 là:

4(x – 4) – 3(y – 3) = 0 hay 4x – 3y – 7 = 0.

+) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

5x+7y+13=04x3y7=0.

Hệ trên có nghiệm duy nhất x=1043y=8743.

Suy ra hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tại điểm có tọa độ 1043;8743.

Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ 1043;8743.

Thay tọa độ 1043;8743 vào phương trình tham số ∆1 ta được:

1043=335t8743=4+25tt=17215t=17215t=17215.

Vậy sau 17215 giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất.

c) Tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên tàu A đứng ở vị trí có tọa độ A(3; – 4) (ứng với t = 0).

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B (đường thẳng ∆2: 4x – 3y – 7 = 0).

Ta có: d(A, ∆2) = 4.33.4742+32=175=3,4.

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km.

*Phương pháp giải:

*Lý thuyết:

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

- Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ là một tập hợp những điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0.

Khi đó, tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0(*)

1 cắt ∆2 tại M(x0 ; y0) khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm duy nhất (x0; y0).

1 song song với ∆2 khi và chỉ khi hệ (*) vô nghiệm.

1 trùng ∆2 khi và chỉ khi hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Dựa vào các vectơ chỉ phương u1, u2 hoặc các vectơ pháp tuyến n1, n2 của ∆1, ∆2 ta có:

+ ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau ⇔u1u2 cùng phương ⇔ n1n2 cùng phương.

+ ∆1 và ∆2 cắt nhau ⇔ u1u2 không cùng phương ⇔ n1n2 không cùng phương.

2. Góc giữa hai đường thẳng

- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

- Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

Ví dụ: Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong hình sau là góc φ.

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

- Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0.

Với các vectơ pháp tuyến n1(a1;b1)n2(a2;b2) tương ứng. Khi đó, góc φ giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Chú ý:

+) ∆1 ⊥ ∆2n1n2⇔ a1a2 + b1b2 = 0.

+) Nếu ∆1, ∆2 có các vectơ chỉ phương u1, u2 thì góc φ giữa ∆1 và ∆2 cũng được xác định thông qua công thức cos φ = |cos(u1,u2)|.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x0 ; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu d(M, ∆), được tính bởi công thức:

d(M,Δ)=ax0+by0+ca2+b2

Xem thêm

Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - Toán 10 Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Mở đầu trang 81 Toán 10 Tập 2: Trong thực tiễn, có những tình huống đòi hỏi chúng ta phải xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng...

Hoạt động 1 trang 81 Toán 10 Tập 2: Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng...

Hoạt động 2 trang 81 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng 1, 2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1, u2...

Luyện tập 1 trang 82 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1:x=1+t1y=2+t1Δ2:x=2t2y=3+2t2...

Luyện tập 2 trang 82 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:1: 3x – 2y + 6 = 0...

Hoạt động 3 trang 83 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng 12 cắt nhau tại A tạo thành bốn góc đỉnh A...

Hoạt động 4 trang 83 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng 1, 2 cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là u1, u2...

Hoạt động 5 trang 84 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng 12 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=(a1;b1), u2=(a2;b2...

Luyện tập 3 trang 84 Toán 10 Tập 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng 12 trong mỗi trường hợp sau: a) 1: x=3+33ty=2+3t...

Hoạt động 6 trang 85 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng : 2x + y – 4 = 0 và điểm M(– 1; 1). Gọi H là hình chiếu của M...

Luyện tập 4 trang 85 Toán 10 Tập 2: a) Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng : x-4+ y2=1...

Bài 1 trang 86 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau: a) d1: 3x + 2y – 5 = 0 và d2: x – 4y + 1 = 0; b) d3: x – 2y + 3 = 0 và d4: – 2x + 4y + 10 = 0...

Bài 2 trang 86 Toán 10 Tập 2: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng d1: 2x – y + 5 = 0 và d2: x – 3y + 3 = 0...

Bài 3 trang 86 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: a) A(1; – 2) và 1: 3x – y + 4 = 0...

Bài 4 trang 86 Toán 10 Tập 2: Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc? 1: mx – y + 1 = 0 và 2: 2x – y + 3 = 0...

Bài 5 trang 86 Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; – 1), B(1; 2) và C(4; – 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC...

Bài 6 trang 86 Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(2; 4), B(– 1; 2) và C(3; – 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C...

Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2: Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 2: Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng

Bài 1: Mệnh đề toán học

1 42,721 22/11/2024


Xem thêm các chương trình khác: