Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Lời giải Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10.

1 31136 lượt xem

Giải Toán 10 Cánh diều Bài 4:Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 7 trang 86 Toán 10 Tập 2: Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: $\{\begin{cases} x = 3 - 35 t \\ y = - 4 + 25 t \end{cases}$ , vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Giả sử đường đi của tàu A là đường thẳng ∆₁, phương trình tham số của đường thẳng ∆₁ là: $\{\begin{cases} x = 3 - 35 t \\ y = - 4 + 25 t \end{cases}$ . Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (- 35; 25)$ .

Đường đi của tàu B là ∆₂, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t), do đó phương trình tham số của đường thẳng ∆₂: $\{\begin{cases} x = 4 - 30 t \\ y = 3 - 40 t \end{cases}$ . Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (- 30; - 40)$ .

Khi đó $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|(- 35) . (- 30) + 25. (- 40)|}{\sqrt{{(- 35)}^{2} + 25^{2}} . \sqrt{{(- 30)}^{2} + {(- 40)}^{2}}} = \frac{50}{250 \sqrt{74}} = \frac{1}{5 \sqrt{74}}$ .

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là $\frac{1}{5 \sqrt{74}}$ .

b) +) Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của ∆₁ ta có: $\{\begin{cases} x = 3 - 35.0 = 3 \\ y = - 4 + 25.0 = - 4 \end{cases}$ .

Do đó điểm A(3; – 4) thuộc ∆₁.

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(3; – 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (5; 7)$ .

Vậy phương trình tổng quát của ∆₁ là:

5(x – 3) + 7(y + 4) = 0 hay 5x + 7y + 13 = 0.

+) Ứng với t = 0, thay vào phương trình tham số của ∆₂ ta có: $\{\begin{cases} x = 4 - 30.0 = 4 \\ y = 3 - 40.0 = 3 \end{cases}$ .

Do đó điểm B(4; 3) thuộc ∆₂.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(4; 3) và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (4; - 3)$ .

Vậy phương trình tổng quát của ∆₂ là:

4(x – 4) – 3(y – 3) = 0 hay 4x – 3y – 7 = 0.

+) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 5 x + 7 y + 13 = 0 \\ 4 x - 3 y - 7 = 0 \end{cases}$ .

Hệ trên có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} x = \frac{10}{43} \\ y = - \frac{87}{43} \end{cases}$ .

Suy ra hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $(\frac{10}{43}; - \frac{87}{43})$ .

Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ $(\frac{10}{43}; - \frac{87}{43})$ .

Thay tọa độ $(\frac{10}{43}; - \frac{87}{43})$ vào phương trình tham số ∆₁ ta được:

$\{\begin{cases} \frac{10}{43} = 3 - 35 t \\ - \frac{87}{43} = - 4 + 25 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = \frac{17}{215} \\ t = \frac{17}{215} \end{cases} \Leftrightarrow t = \frac{17}{215}$ .