Giải các phương trình sau: a) sin(2x + 15 độ) + cos(2x – 15 độ) = 0

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.26 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0;

b) $\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)+\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=0$ ;

c) tan x + cot x = 0;

d) sin x + tan x = 0.

Lời giải:

a) Ta có sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0

⇔ sin(2x + 15°) = – cos(2x – 15°)

⇔ sin(2x + 15°) = – sin[90° – (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin[– 90° + (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin(2x – 105°)

Không xảy ra trường hợp 120° = k360°.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 67,5° + k90° (k ∈ ℤ). 

b)$\cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)+\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=0$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(\frac{7\pi }{6}-3x\right)$

c) Ta có tan x + cot x = 0

⇔ tan x = – cot x

⇔ tan x = cot(π – x)

$\iff \tan x=\tan \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff x=x-\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \frac{\pi }{2}-k\pi =0\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Vô lí.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện cos x ≠ 0 .

Ta có sin x + tan x = 0

$\iff \sin x+\frac{\sin x}{\cos x}=0$

$\iff \sin x\left(1+\frac{1}{\cos x}\right)=0$

⇔ sin x = 0  (do sin² x + cos² x = 1)

⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vì x = kπ (k ∈ ℤ) thoả mãn điều kiện cos x ≠ 0 nên nghiệm của phương trình đã cho là

x = kπ (k ∈ ℤ).