Chứng minh: a) (x + 1)(x^2 – x + 1) = x^3 – 1. b) (x^3 + x^2 + x  + 1)(x – 1) = x^4 – 1

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài 4. Phép nhân đa thức một biến

Bài 34 trang 50 SBT Toán 7 Tập 1:

Chứng minh:

a) (x + 1)(x² – x + 1) = x³ – 1.

b) (x³ + x² + x  + 1)(x – 1) = x⁴ – 1.

c) (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab (với a, b là số thực).

Lời giải

a) (x + 1)(x² – x + 1)

= x . (x² – x + 1) + 1 . (x² – x + 1)

= x . x² – x . x + x . 1 + x² –  x + 1

= x³ – x² + x + x² –  x + 1

= x³ + (– x² + x²) + (x – x) + 1

= x³ – 1.

Vậy (x + 1)(x² – x + 1) = x³ – 1.

b) (x³ + x² + x  + 1)(x – 1)

= x³ . (x – 1) + x² . (x – 1) + x . (x – 1) + 1. (x – 1)

= x³ . x – x³ . 1 + x² . x – x² . 1 + x . x – x . 1 + x – 1

= x⁴ – x³ + x³ – x² + x² – x + x – 1

= x⁴ + (– x³ + x³) + (– x² + x²) + (– x + x) – 1

= x⁴ – 1.

Vậy (x³ + x² + x  + 1)(x – 1) = x⁴ – 1.

c) (x + a)(x + b)

= x . (x + b) + a . (x + b)

= x . x + x . b + a . x + ab

= x² + (bx + ax) + ab

= x² + (a + b)x + ab.

Vậy (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab (với a, b là số thực).