Cho tứ diện ABCD, gọi M là N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết MN = a căn 3

Giải SBT Toán 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 7.3 trang 26 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M là N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết MN = a$\sqrt{3}$; AB = 2$\sqrt{2}$a và CD = 2a. Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

Lời giải:

Lấy K là trung điểm của BC.

Xét tam giác BCD có N là trung điểm BD, K là trung điểm BC nên NK là đường trung bình. Do đó NK // CD và NK = $\frac{DC}{2}$ = a.

Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, K là trung điểm BC nên MK là đường trung bình. Do đó MK // AB và MK = $\frac{AB}{2}$ = $\sqrt{2}$a.

Có MN² = 3a² ; NK² + MK² = a² + ${\left(\sqrt{2a}\right)}^2$ = 3a².

Do đó MN² = NK² + MK² nên tam giác MNK là tam giác vuông tại K hay NK $\perp$ MK.

Lại có MK // AB, NK // CD nên (AB, CD) = (MK, NK) = 90° hay AB $\perp$ CD.