Tổng hợp lý thuyết Chương 4 – Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 9: Bài tập cuối Chương 4 - Chân trời sáng tạo

A. Tóm tắt lý thuyết Chương 4

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng α. Ta gọi AC là cạnh đối của góc α, AB là cạnh kề của góc α.

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=\alpha ,$ ta có:

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu sin α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu cos α.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu tan α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu cot α.

Chú ý: Với góc nhọn α, ta có:

• 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1.

• $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }.$

• Ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc 30°, 45°, 60° như sau:

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

• Hai góc được gọi là phụ nhau nếu chúng có tổng bằng 90°. Như vậy, góc phụ của góc nhọn α là góc (90° − α).

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý: Khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta có thể viết sin A thay cho $\sin \widehat{A}.$

3. Hệ thức giữa cạnh huyền và góc của tam giác vuông

Định lý: Trong một tam giác vuông:

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$b=a.\sin B=a.\cos C;$$c=a.\sin C=a.\cos B;$

$b=c.\tan B=c.\cot C;$$c=b.\tan C=b.\cot B.$

4. Giải tam giác vuông

Giải một tam giác vuông là tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác đó.

B. Bài tập ôn tập Chương 4

Bài 1. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A. $\sin \alpha +\cos \alpha =1;$

B. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;$

C. ${\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha =1;$

D. $\sin \alpha -\cos \alpha =1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho α là góc nhọn bất kỳ, khi đó ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$

Bài 2. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A. $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };$

B. $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };$

C. $\tan \alpha .\cot \alpha =1;$

D. ${\tan }^2\alpha -1={\cos }^2\alpha .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho α là góc nhọn bất kỳ, khi đó:

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;$$\tan \alpha .\cot \alpha =1.$

• $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };$$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.$

• $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha };$$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }.$

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, $\widehat{B}=30°.$ Độ dài hai cạnh còn lại là:

A. $AC=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm; $BC=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm;

B. $AC=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm; $BC=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm;

C. $AC=5\sqrt{3}$ cm; $BC=10\sqrt{3}$ cm;

D. $AC=\frac{10}{3}$ cm; $BC=\frac{5}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\tan B=\frac{AC}{AB}$ nên $AC=AB.\tan B=5.\tan 30°=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=5^2+{\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{100}{3}$.

Suy ra $BC=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

Bài 4. Cho tam giác DEF có $\widehat{E}=60°,$$\widehat{F}=42°,$ đường cao DS = 12 cm (như hình vẽ)

Độ dài của cạnh EF của tam giác DEF (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng

A. 25,6 cm;

B. 19,8 cm;

C. 20,2 cm;

D. 18,6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác DEF có DS là đường cao, ta có: $\widehat{DSE}=\widehat{DSF}=90°.$

Suy ra tam giác DES vuông tại S và tam giác DFS vuông tại S.

Xét tam giác DES vuông tại S, ta có:

$\tan E=\frac{DS}{ES}$ nên $ES=\frac{DS}{\tan E}=\frac{12}{\tan 60°}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\approx 6,9$ cm.

Xét tam giác DES vuông tại S, ta có:

$\tan F=\frac{DS}{FS}$ nên $FS=\frac{DS}{\tan F}=\frac{12}{\tan 42°}\approx 13,3$ cm.

Mà EF = ES + FS = 6,9 + 13,3 = 20,2 cm.

Vậy độ dài cạnh EF là 20,2 cm.

Bài 5.Giải các tam giác vuông sau. Làm tròn kết quả độ dài đến hàng đơn vị và số đo góc đến độ.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{12}$ suy ra $\widehat{C}\approx 25°,$$\widehat{B}\approx 90°-25°=65°.$

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{12}^2-5^2}=\sqrt{144-25}=\sqrt{119}\approx 11.$

Vậy $\widehat{A}=90°;\widehat{B}\approx 65°;\widehat{C}\approx 25°,AC\approx 11.$

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\widehat{B}=90°-35°=55°,$$AC=AB.\cot C=9.\cot 35°\approx 13.$

$\sin C=\frac{AB}{BC}$ nên $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{9}{\sin 35°}\approx 16.$

Vậy $\widehat{A}=90°;\widehat{B}=55°;AC\approx 13,BC\approx 16.$

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp sau:

a) BC = 12 cm; AB = 8 cm;

b) $AB=a\sqrt{2};$$AC=2\sqrt{2}a.$

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 12² – 8² = 80.

Do đó $AC=4\sqrt{5}$ cm.

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{5}}{12}=\frac{\sqrt{5}}{3};$$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2};$$\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Vậy $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3};\cos B=\frac{2}{3};\tan B=\frac{\sqrt{5}}{2};\cot B=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

b) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC²

$={\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}a\right)}^2$$=2a^2+8a^2$$=10a^2$

Suy ra $BC=a\sqrt{10}.$

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{5}a}{5};$$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2;$$\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{1}{2}.$

Vậy $\sin B=\frac{2\sqrt{5}a}{5};\cos B=\frac{\sqrt{5}}{5};\tan B=2;\cot B=\frac{1}{2}.$

Bài 7. Rút gọn và tính các biểu thức sau:

a) $A=\sin 15°-\sin 60°+\cos 30°-\cos 75°+5;$

b) $B={\sin }^{2}82°+\cot 24°.\cot 66°+{\cos }^{2}82°.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A=\sin 15°-\sin 60°+\cos 30°-\cos 75°+5$

$=\left(\sin 15°-\cos 75°\right)+\left(\cos 30°-\sin 60°\right)+5$

$=\left(\cos 75°-\cos 75°\right)+\left(\cos 30°-\cos 30°\right)+5$

= 0 + 0 + 5 = 5.

b) Ta có: $B={\sin }^{2}82°+\cot 24°.\cot 66°+{\cos }^{2}82°$

$=\left({\sin }^{2}82°+{\cos }^{2}82°\right)+\cot 24°.\cot 66°$

$=1+\tan 66°.\cot 66°$

= 1 + 1 = 2.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10 cm, $\cos A=\frac{1}{2}.$ Tính sinA và độ dài cạnh AB và BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ suy ra ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A.$

Do đó $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}.$

• Thay $\cos A=\frac{1}{2},$ ta có: $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (do sin A > 0 vì góc A nhọn).

Ta lại có: $\cos A=\frac{AB}{AC}$ suy ra AB = AC.cos A.

• Thay $\cos A=\frac{1}{2},$ AC = 10 cm, ta có: $AB=10\cdot \frac{1}{2}=5$ (cm).

Mà $\sin A=\frac{BC}{AC}$ suy ra BC = AC.sin A.

• Thay $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2},$ AC = 10 cm, ta có: $BC=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ (cm)

Vậy $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2},$AB = 5 cm, $BC=5\sqrt{3}$ cm

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và góc B = α. Tìm giá trị α sao cho BH = 3CH.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Đặt AH = h.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = h.cot α.

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan α.

BH = 3CH suy ra $\frac{BH}{CH}=\frac{h.\cot \alpha }{h.\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{\tan \alpha }}{\tan \alpha }=\frac{1}{{\tan }^2\alpha }=3$

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30°.$

Vậy α = 30°.

Bài 10. Một cầu trượt ở công viên có độ dốc là 28° và độ cao là 1,8 m. Tìm độ dài của mặt cầu trượt.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC vuông tại A.

Khi đó, độ dài mặt cầu trượt là:

$AB=\frac{1,8}{\sin 28°}\approx 3,83$ (m).

Vậy độ dài của mặt cầu trượt khoảng 3,83 m.

Trắc nghiệm: Tổng hợp lý thuyết Chương 4

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tam giác DEF vuông tại E có góc nhọn F bằng α. Khi đó α bằng

A. $\sin \alpha =\frac{EF}{DF}$.

B. $\sin \alpha =\frac{DE}{DF}$.

C. $\sin \alpha =\frac{DE}{EF}$.

D. $\sin \alpha =\frac{EF}{DE}$.

Câu 2. Cho là góc nhọn thỏa mãn $\tan \alpha =\frac{1}{6}$. Khi đó cotα bằng

A. $cot\alpha =\frac{1}{6}$

B. $cot\alpha =-\frac{1}{6}$

C. cotα = –6

D. cotα = 6

Câu 3. Cho hình vẽ dưới đây.

Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. c = a.sinB.

B. b = a.tanC.

C. b = c.tanB.

D. c = a.tanB.

Câu 4. Nếu tam giác MNP vuông tại M có NP = 7, $\sin P=\frac{2}{9}$ thì MN bằng

A. $\frac{9}{14}$

B. $\frac{18}{7}$

C. $\frac{63}{2}$

D. $\frac{14}{9}$

Câu 5. Cho α, βlà số đo các góc nhọn của một tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sinα – cosα = 0.

B. cosα – cosβ = 0.

C. tanα – cotβ = 0.

D. tanα.cotβ =1.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$

B. $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$

C. $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$

D. $cotB=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$

Câu 7. Cho góc nhọn α thỏa mãn 0^o < α < 70^o và biểu thức:

A = tanα.tan(α + 10^o).tan(α + 20^o).tan(70^o – α).tan(80^o – α).tan(90^o – α)

Giá trị của biểu thức A là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm. Kết quả nào sau đây là đúng?

A. $\tan C=\frac{\sqrt{7}}{6}$

B. $\tan C=\frac{7}{6}$

C. $\tan C=\frac{\sqrt{7}}{3}$

D. $\tan C=\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, cosB = $\frac{5}{8}$. Kết quả nào sau đây là đúng?

A. BC = √39 cm; AC = 8 cm.

B. BC = 8 cm; AC = √39 cm.

C. BC = 16 cm; AC = √39 cm.

D. BC = 4 cm; AC = $\frac{\sqrt{39}}{2}$ cm.

III. Vận dụng

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết AB = 10 cm, BH = 5 cm. Tỉ số lượng giác cosC bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\sqrt{3}$