Giải sbt Toán 9 Bài 20 (Kết nối tri thức): Định lí Viète và ứng dụng

Giải SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Bài 6.17 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $\sqrt{3}{x}^2-\left(\sqrt{3}+1\right)x+1=0$

b) $3x^2+\left(\sqrt{5}-1\right)x-4+\sqrt{5}=0$

c) $2x^2-3\sqrt{5}x+5=0$, biết rằng phương trình có một nghiệm là $x=\sqrt{5}$

Lời giải:

a) $\sqrt{3}{x}^2-\left(\sqrt{3}+1\right)x+1=0$

Ta có $a=\sqrt{3},b=-\left(\sqrt{3}+1\right),c=1$

Vì $a+b+c=\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+1\right)+1=0$ nên phương trình có hai nghiệm là:

x₁ = 1 và $x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và $x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$

b) $3x^2+\left(\sqrt{5}-1\right)x-4+\sqrt{5}=0$

Ta có $a=\mathrm{3,}b=\sqrt{5}-\mathrm{1,}c=-4+\sqrt{5}$

Vì $a-b+c=3-\left(\sqrt{5}-1\right)-4+\sqrt{5}=0$ nên phương trình có hai nghiệm là:

x₁ = –1 và $x_2=-\frac{c}{a}=\frac{4-\sqrt{5}}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1 và $x_2=\frac{4-\sqrt{5}}{3}$

c) $2x^2-3\sqrt{5}x+5=0$

Gọi nghiệm thứ nhất của phương trình là $x_1=\sqrt{5}$

Theo định lý Viète, ta có:

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{5}{2}$ hay $\sqrt{5}.x_2=\frac{5}{2}$ , suy ra $x_2=\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=\sqrt{5}$ và $x_2=\frac{\sqrt{5}}{2}$

Bài 6.18 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và b, biết:

a) u + v = 17, uv = 72;

b) u² +v² = 73, uv = 24.

Lời giải:

a) u + v = 17 nên u = 17 – v.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x² – (u + v)x + uv = 0 hay x² – 17x + 72 = 0.

Xét phương trình trên ta có:

A = 1, b = –17, c = 72.

∆ = (–17)² – 4 . 1 . 72 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-17\right)+\sqrt{1}}{2.1}=9$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-17\right)-\sqrt{1}}{2.1}=8$

Vậy hai số cần tìm là 9 và 8.

b) u² + v² = 73, uv = 24

Ta có: u² + v² + 2uv = 73 + 2 . 24 hay (u + v)² = 121

Suy ra u + v = 11 hoặc u + v = –11.

● TH1: u + v = 11.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x² – (u + v)x + uv = 0 hay x² – 11x + 24 = 0.

Xét phương trình x² – 11x + 24 = 0 có: a = 1, b = –11, c = 24.

Vì ∆ = (–11)² – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{25}}{2.1}=8$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{25}}{2.1}=3$

Vậy hai số cần tìm là 8 và 3.

● TH2: u + v = –11.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x² – (u + v)x + uv = 0 hay x² + 11x + 24 = 0.

Xét phương trình x² + 11x + 24 = 0 có a = 1, b = 11, c = 24.

Vì ∆ = 11² – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-11+\sqrt{25}}{2.1}=-3$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-11-\sqrt{25}}{2.1}=-8$

Vậy hai số cần tìm là –8 và –3.

Bài 6.19 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Dùng định lí Viète, tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 8x + 15 = 0;

b) x² + 5x + 6 = 0.

Lời giải:

a) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 8x + 15 = 0, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{1}=8$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{15}{1}=15$

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 và x = 5.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² + 5x + 6 = 0, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}=-5$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = –2 và x = –3.

Bài 6.20 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x² – 4x + m – 2 = 0.

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m:

A = x₁² + x₂²; B = x₁³ + x₂³.

Lời giải:

a) x² – 4x + m – 2 = 0

Ta có: a = 1, b = –4, c = m – 2.

∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4 . 1 . (m – 2) = 16 – 4m + 8 = 24 – 4m

Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay 24 – 4m ≥ 0.

Suy ra 24 ≥ 4m nên m ≤ 6.

Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 6.

b) Theo định lý Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{1}=m-2$

Do đó: A = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂

= 4² – 2(m – 2) = 16 – 2m + 4 = 20 – 2m

B = x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂)

= 4³ – 3 . 4 . (m – 2) = 64 – 12m + 24 = 88 – 12m.

Vậy A = 20 – 2m và B = 88 – 12m.

Bài 6.21 trang 13 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giả sử phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x₁, x₂ đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$

Lời giải:

Áp dụng định lý Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}; x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Do đó: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$

$\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{1}{\frac{c}{a}}=\frac{a}{c}$

Vậy $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$ là nghiệm của phương trình $x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}=0$

Bài 6.22 trang 14 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁, x₂ thì đa thức ax² + bx + c có thể phân tích được thành nhân tử như sau

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng: Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2x² – 9x + 7;

$4x^2+\left(\sqrt{2}-3\right)x-7+\sqrt{2}$

Lời giải:

Áp dụng định lý Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}; x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Do đó: $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=a\left[x^2-x\left(x_1+x_2\right)+x_1{x}_2\right]$

$=a\left[x^2-\left(-\frac{b}{a}\right)x+\frac{c}{a}\right]=a{x}^2+bx+c$ (đpcm)

Áp dụng:

● Xét phương trình 2x² – 9x + 7 có a = 2, b = –9, c = 7.

Ta thấy a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và $x_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{2}$.

Khi đó ta có $2x^2-9x+7=2\left(x-1\right)\left(x-\frac{7}{2}\right)$.

● Xét phương trình $4x^2+\left(\sqrt{2}-3\right)x-7+\sqrt{2}$ có $a=4,b=\sqrt{2}-3,c=-7+\sqrt{2}.$

Ta thấy $a-b+c=4-\left(2-\sqrt{3}\right)+\left(-7+\sqrt{2}\right)=0$ nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1 và $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{-7+\sqrt{2}}{4}$.

Khi đó ta có $4x^2+\left(\sqrt{2}-3\right)x-7+\sqrt{2}=4\left(x+1\right)\left(x-\frac{-7+\sqrt{2}}{4}\right)$.

Bài 6.23 trang 14 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tìm m để phương trình x² + 4x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁² + x₂² = 10.

Lời giải:

Xét phương trình x² + 4x + m = 0 có: a = 1, b = 4, c = m

∆ = b² – 4ac = 4² – 4 . 1 . m = 16 – 4m

Phương trình có hai nghiệm khi ∆ > 0 hay 16 – 4m > 0, suy ra m < 4.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ và x₂. Theo định lý Viète ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{1}=m$

Ta có: (x₁ + x₂)² = (–4)²

x₁² + x₂² + 2x₁x₂ = 16

10 + 2m = 16

2m = 6

m = 3 (thỏa mãn)

Vậy với m = 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁² + x₂² = 10.

Bài 6.24 trang 14 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Biết diện tích của mảnh vườn là 108 m², hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải:

a) Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y (m) (0 < x < y).

Bác Long có 48 mét lưới thép nên ta có:

2(x + y) = 48 hay x + y = 48 : 2 = 24 (m).

Diện tích mảnh vườn là 108 m² nên ta có xy = 108 (m²)

Do đó x và y là nghiệm của phương trình x² – 24x + 108 = 0.

Xét phương trình x² – 24x + 108 = 0 có a = 1, b = –24, c = 108.

Vì ∆ = b² – 4ac = (–24)² – 4 . 1 . 108 = 144 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-24\right)+\sqrt{144}}{2.1}=18$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-24\right)-\sqrt{144}}{2.1}=6$

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6 m và 18 m.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài tập cuối chương 6

Bài 22: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 23: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Xem thêm tài liệu Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng 9

Giáo án điện tử Định lí Viète và ứng dụng lớp 9

Giáo án Định lí Viète và ứng dụng lớp 9

Giải sgk Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng