Giải sbt Toán 9 Bài 30 (Kết nối tri thức): Đa giác đều

Giải SBT Toán 9 Bài 30: Đa giác đều

Bài 9.33 trang 59 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Những hình nào dưới đây là đa giác đều?

a) Tam giác đều;

b) Hình vuông;

c) Hình tròn;

d) Hình bình hành;

e) Hình chữ nhật;

f) Lục giác đều.

Lời giải:

Các đa giác đều là tam giác đều, hình vuông, lục giáo đều.

Hình tròn, hình chữ nhật và hình bình hành không phải là đa giác đều.

Bài 9.34 trang 59 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Hình phẳng nào dưới đây có dạng đa giác đều?

Lời giải:

● Hình a là hình vuông nên là hình có dạng đa giác đều.

● Hình b là hình chữ nhật với hai cạnh khác nhau nên không là hình có dạng đa giác đều.

● Hình c là hình lục giác có các cạnh khác nhau nên không là hình có dạng đa giác đều.

● Hình d không phải đa giác lồi nên không là hình có dạng đa giác đều.

Bài 9.35 trang 59 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Hình nào dưới đây vẽ hai điểm M, N thoả mãn phép quay ngược chiều 60° tâm O biến N thành M?

Lời giải:

Hình d là hình vẽ hai điểm M, N thỏa mãn phép quay ngược chiều 60° tâm O biến N thành M.

Bài 9.36 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDE nội tiếp một đường tròn (O). Chứng minh rằng điểm O cách đều tất cả các cạnh của lục giác đều.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của lục giác đều ABCDEF.

Gọi M là trung điểm của AB.

Vì tam giác AOB là tam giác đều nên OM ⊥ AB và OM là phân giác của góc AOB.

Do đó $OM=\sin \widehat{OAM}.OA=\sin 60°.a=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Vậy khoảng cách từ điểm O đến AB bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tương tự ta tính được khoảng cách từ O đến tất cả các cạnh của lục giác đều đều bằng nhau và bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Vậy điểm O cách đều tất cả các cạnh của lục giác đều.

Bài 9.37 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho một bát giác đều (đa giác đều có 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O. Kẻ các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của đa giác và chia đa giác thành 8 tam giác nhỏ cân tại đỉnh O. Ba góc của mỗi tam giác nhỏ có số đo bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi một cạnh của bát giác đều là AB.

Góc AOB là góc ở tâm của (O) chắn cung bằng $\frac{1}{8}$ đường tròn nên ta có

$\widehat{AOB}=\frac{360°}{8}=45°$

Vì tam giác AOB cân tại O nên ta có:

$\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\frac{1}{2}\left(\widehat{OAB}+\widehat{OBA}\right)=\frac{180°-\widehat{AOB}}{2}=\frac{180°-45°}{2}=\mathrm{67,5}°$

Vậy ba góc của mỗi tam giác nhỏ có số đo bằng nhau và bằng 67,5°.

Bài 9.38 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho A', B', C', D', E', F' là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA của lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng A'B'C'D'E'F' là một lục giác đều.

Lời giải:

Ta thấy A'B'C'D'E'F' là một lục giác lồi.

Xét hai tam giác F'AA' và A'BB' có:

$AF\text{'}=\frac{AF}{2}=\frac{AB}{2}=BA\text{'};$

$AA\text{'}=\frac{AB}{2}=\frac{BC}{2}=BB\text{'}$

$\widehat{F\text{'}AA\text{'}}=\widehat{FAB}=\widehat{ABC}=\widehat{A\text{'}BB\text{'}}$

Do đó ∆F'AA' ᔕ ∆A'BB' (c.g.c). Suy ra F'A' = A'B'.

Tương tự, ta có A'B' = B'C' = C'D' = D' E' = E'F' = F'A'.

Vì lục giác đều ABCDEF nội tiếp một đường tròn và mỗi góc của lục giác đều chắn một cung bằng $\frac{4}{6}$ đường tròn nên ta có:

$\widehat{F\text{'}AA\text{'}}=\widehat{A\text{'}BB\text{'}}=\frac{1}{2}.\frac{4}{6}.360°=120°$

$\widehat{B\text{'}A\text{'}B}=180°-\widehat{A\text{'}AB\text{'}}$

Tam giác F'A'A cân tại A' và tam giác B'A'B cân tại A' nên ta có:

$\widehat{F\text{'}A\text{'}A}=\frac{1}{2}\left(180°-\widehat{F\text{'}AA\text{'}}\right)=\frac{1}{2}.\left(180°-120°\right)=30°$

$\widehat{F\text{'}A\text{'}B\text{'}}=180°-\widehat{F\text{'}A\text{'}A}-\widehat{B\text{'}A\text{'}B}=\frac{1}{2}.\left(180°-120°\right)=30°$

$=180°-30°-30°=120°$

Tương tự ta tính được các góc còn lại của lục giác A'B'C'D'E'F' cũng bằng 120°.

Vậy A'B'C'D'E'F' là lục giác đều.

Bài 9.39 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.14. Hãy cho biết các phép quay thuận chiều lần lượt 120°; 240°; 360° với tâm O biến các đỉnh A, B, C thành những điểm nào.

Lời giải:

Các phép quay thuận chiều lần lượt 120°; 240°; 360° với tâm O biến các đỉnh A, B, C thành những điểm tương ứng dưới đây:

Bài 9.40 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.15. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt 90°; 180°; 270°; 360° với tâm O biến các đỉnh A B, C, D thành những điểm nào.

Lời giải:

Các phép quay ngược chiều lần lượt 90°; 180°; 270°; 360° với tâm O biến các đỉnh A B, C, D thành những điểm như dưới đây:

Bài 9.41 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O.

a) Chứng tỏ ACE là tam giác đều.

b) Liệt kê ba phép quay giữ nguyên tam giác đều ACE.

c) Liệt kê sáu phép quay giữ nguyên lục giác đều ABCDEF.

Lời giải:

a) Ta thấy mỗi góc của tam giác ACE là một góc nội tiếp của (O) và chắn một cung bằng $\frac{2}{6}$ đường tròn.

Do đó mỗi góc của tam giác ACE có độ lớn bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{6}\cdot 360°=60°$

Vậy tam giác ACE là tam giác đều (đpcm).

b) Vì tam giác đều ACE nội tiếp (O) nên các phép quay thuận chiều lần lượt 120°; 240°; 360° với tâm O sẽ giữ nguyên tam giác đều ACE.

c) Vì lục giác đều ABCDE nội tiếp (O) nên các phép quay thuận chiều lần lượt 60°; 120°; 180°; 240°; 300°; 360° với tâm O sẽ giữ nguyên lục giác đều ABCDE.

Bài 9.42 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một phép quay thuận chiều 120° tâm O biến điểm A thành điểm B, biến điểm B thành điểm C. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.

Lời giải:

Phép quay thuận chiều 120° tâm O biến điểm A thành điểm B nên OA = OB, biến điểm B thành điểm C nên OB = OC, suy ra OA = OB = OC.

Phép quay thuận chiều 120° tâm O biến điểm A thành điểm B, biến điểm B thành điểm C nên các cung $\stackrel{⏜}{AB}, \stackrel{⏜}{BC}$ có số đo bằng 120°.

Các góc ACB và BAC là các góc nội tiếp của (O) chắn các cung $\stackrel{⏜}{AB}, \stackrel{⏜}{BC}$ nên

$\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}=\frac{1}{2}.120°=60°$

$\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BC}=\frac{1}{2}.120°=60°$

Suy ra $\widehat{ABC}=180°-\widehat{ACB}-\widehat{BAC}=180°-60°-60°=60°$

Vậy tam giác ABC là tam giác đều (đpcm).

Bài 9.43 trang 60 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

a) Tìm một phép quay biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm A.

b) Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến A thành C và biến B thành D. Chứng tỏ rằng ACBD là một hình vuông.

Lời giải:

a) Phép quay thuận chiều 180° tâm O biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm A.

b) O là trung điểm AB nên OA = OB.

Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến A thành C và biến B thành D nên OA = OC và OB = OD.

Do đó OA = OB = OC = OD, suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB.

Do $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}=90°$ nên OC và OD cùng vuông góc với AB hay C, O, D thẳng hàng.

Suy ra CD là đường kính của (O).

Các góc ACB, CBD, BDA, DAC là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}=\widehat{BDA}=\widehat{DAC}=90°$

Do đó ABCD là hình chữ nhật.

Xét tam giác AOC và COB có:

$\widehat{AOC}=\widehat{COB}=90°$

OA = OC (vì đều bằng bán kính đường tròn);

OC = OB (vì đều bằng bán kính đường tròn).

Suy ra ∆AOC = ∆COB (c.g.c).

Tương tự, ta suy ra ∆AOC = ∆COB = ∆BOD = ∆DOA.

Do đó AC = CB = BD = DA.

Vậy ABCD là hình vuông (đpcm).

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 29: Tứ giác nội tiếp

Bài tập cuối chương 9

Bài 31: Hình trụ và hình nón

Bài 32: Hình cầu

Bài tập cuối chương 10

Xem thêm tài liệu Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Đa giác đều lớp 9

Giáo án điện tử Đa giác đều lớp 9

Giáo án Đa giác đều lớp 9

Giải sgk Toán 9 Bài 30: Đa giác đều