Giải sbt Toán 9 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 9

Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn với $\widehat{A}= 70°, \widehat{B}= 100°$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\widehat{C}= 80°, \widehat{D}=110°$

B. $\widehat{C}= 110°, \widehat{D}=80°$

C. $\widehat{C}= 140°, \widehat{D}=200°$

D. $\widehat{C}= 200°, \widehat{D}=140°$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên $\widehat{A}+\widehat{C}=180°,\widehat{B}+\widehat{D}=180°$, do đó:

$\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-70°=110°$

$\widehat{D}=180°-\widehat{B}=180°-100°=80°$

Bài 2 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xét trong một đường tròn, khẳng định nào dưới đây là không đúng?

A. Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

B. Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

C. Góc nội tiếp có số đo bằng số đo góc ở tâm chắn cùng một cung.

D. Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Góc nội tiếp có số đo bằng $\frac{1}{2}$ số đo góc ở tâm chắn cùng một cung.

Bài 3 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) với AB = 4 cm, BC = 3 cm. Đường tròn (O) có bán kính là

A. R = 2,5 cm.

B. R = 5 cm.

C. R = 1,5cm.

D. R = 2 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên AC là đường kính của đường tròn.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ (cm)

Bán kính đường tròn (O) là $\frac{5}{2}=\mathrm{2,5}$(cm).

B. TỰ LUẬN

Bài 9.44 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Xét trong một đường tròn, những câu nào dưới đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

b) Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

c) Góc ở tâm có số đo bằng số đo góc nội tiếp chắn cùng một cung.

d) Góc nội tiếp có số đo bằng số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

● Câu a đúng, hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.

● Câu b đúng, hai góc ở tâm bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

● Câu c sai, góc ở tâm có số đo bằng 2 lần số đo góc nội tiếp chắn cùng một cung.

● Câu d sai, góc nội tiếp có số đo bằng $\frac{1}{2}$ số đo của cung bị chắn.

Bài 9.45 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo của các góc $\widehat{BOC}, \widehat{COA}, \widehat{AOB}$, biết rằng $\widehat{A}=60°, \widehat{B}=70°$

Lời giải:

Xét tam giác ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180°$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{CBA}=180°-60°-70°=50°$

Xét đường tròn (O) có:

Góc nội tiếp BAC và góc ở tâm BOC cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ nên $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=2.60°=120°$

Góc nội tiếp CBA và góc ở tâm COA cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}$ nên $\widehat{COA}=2\widehat{CBA}=2.70°=140°$

Góc nội tiếp ACB và góc ở tâm AOB cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$ nên $\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}=2.50°=100°$

Vậy $\widehat{BOC}=120°, \widehat{COA}=140°, \widehat{AOB}=100°$

Bài 9.46 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Chứng tỏ rằng IEAF, IFBD, IDCE là các tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Vì I tiếp xúc các cạnh AC và AB tại E và F nên $\widehat{IFA}=\widehat{IEA}=90°$

Hai tam giác vuông IFA và IEA có chung cạnh huyền AI nên hai tam giác này cùng nội tiếp đường tròn đường kính AI. Suy ra tứ giác IEAF nội tiếp đường tròn đường kính AI (đpcm).

Tương tự, tứ giác IFBD nội tiếp đường tròn đường kính BI, tứ giác IDCE nội tiếp đường tròn đường kính CI (đpcm).

Bài 9.47 trang 61 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn bán kính 4 cm. Hãy tính độ dài mỗi cạnh và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của tam giác đều ABC.

Do tam giác ABC nội tiếp một đường tròn đường kính 4 cm nên ta có:

$\frac{\sqrt{3}}{3}a=4$ suy ra $a=4\sqrt{3}$ (cm)

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là:

$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}}{6}.4\sqrt{3}=2$ (cm)

Vậy độ dài cạnh tam giác ABC là $4\sqrt{3}$cm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2 cm.

Bài 9.48 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính diện tích tam giác vuông cân, nội tiếp đường tròn bán kính 4 cm.

Lời giải:

Gọi a và b lần lượt là độ dài cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông đã cho.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho có bán kính 4 cm nên ta có:

$\frac{b}{2}=4$ hay b = 8 (cm).

Áp dụng định lý Pythagore, ta có: $a=\sqrt{\frac{b^2}{2}}=\sqrt{\frac{8^2}{2}}=4\sqrt{2}$(cm)

Vậy diện tích tam giác đã cho là: $\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}.{\left(4\sqrt{2}\right)}^2=16$(cm²)

Bài 9.49 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích là 24 cm và nội tiếp đường tròn có bán kính 5 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có bán kính 5 cm nên BC là đường kính của đường tròn đó, suy ra BC = 2 . 5 = 10 (cm).

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABC ta có:

AB² + AC² = BC² hay AB² + AC² = 10² = 100 (cm²)

Diện tích tam giác ABC bằng 24 cm² nên

$\frac{1}{2}AB.AC=24$ (cm²) hay AB . AC = 48 (cm²)

Suy ra (AB + AC)² = AB² + AC² + 2AB . AC = 100 + 2 . 48 = 196.

Do đó AB + AC = 14 (cm).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính của đường tròn đó.

Khi đó r cũng đồng thời là chiều cao hạ từ I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, AIB.

Ta có:

$S_{ABC}=S_{BIC}+S_{CIA}+S_{AIB}$

$=\frac{1}{2}BC.r+\frac{1}{2}CA.r+\frac{1}{2}CB.r$

$=\frac{1}{2}\left(BC+CA+AB\right).r$$=\frac{1}{2}\left(10+14\right).r=12r$

Do đó 24 = 12r hay r = 2 (cm).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2 cm.

Bài 9.50 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác nội tiếp ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) $\widehat{A} = 80°; \widehat{D}= 100°;$

b) $\widehat{B} = 80°; \widehat{A}= 110°;$

c) $\widehat{C} = 120°; \widehat{B}= 60°;$

d) $\widehat{D} = 65°; \widehat{C}= 125°;$

Lời giải:

Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên $\widehat{A}+\widehat{C}=180°,\widehat{B}+\widehat{D}=180°$, do đó ta có:

a) $\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-80°=100°$

$\widehat{B}=180°-\widehat{D}=180°-100°=80°$

b) $\widehat{D}=180°-\widehat{B}=180°-80°=100°$

$\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-110°=70°$

c) $\widehat{A}=180°-\widehat{C}=180°-120°=60°$

$\widehat{D}=180°-\widehat{B}=180°-60°=120°$

d) $\widehat{B}=180°-\widehat{D}=180°-65°=115°$

$\widehat{A}=180°-\widehat{C}=180°-125°=55°$

Bài 9.51 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng AM . AB = AN . AC.

Lời giải:

Do $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90°$ nên hai tam giác vuông AMH và ANH có chung cạnh huyền AH và nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Do đó tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Hai góc nội tiếp AMN và AHN cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AN}$ nên $\widehat{AMN}=\widehat{AHN}$

Xét ∆AMN và ∆ACB có:

$\widehat{AMN}=\widehat{AHN}=90°-\widehat{HAN}=\widehat{ACB}$

$\widehat{MAN}=\widehat{CAB}$ (góc chung)

Suy ra ∆AMN ᔕ ∆ACB (g.g).

Do đó $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ hay AM . AB = AN . AC (đpcm).

Bài 9.52 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng:

a) KB . KC = KE . KF;

b) $\frac{KB}{KC}=\frac{DB}{DC}$

Lời giải:

a) Do $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$ nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Tương tự, tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tứ giác AEBD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Vì tổng các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp BFCE bằng 180° nên $\widehat{KFB}=180°-\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$

Xét ∆KFC và ∆KCE có:

$\widehat{KFB}=\widehat{BCE}=\widehat{KCE}$

$\widehat{FKB}=\widehat{CKE}$ (góc chung)

Suy ra ∆KFB ᔕ ∆KCE (g.g).

Do đó $\frac{KF}{KC}=\frac{KB}{KE}$ hay KB . KC = KE . KF (đpcm).

b) Xét hai tam giác KEB và KCF có:

$\widehat{KEB}=\widehat{KCF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{BF}$ của đường tròn đường kính BC)

$\widehat{EKB}=\widehat{CKF}$(góc chung)

Suy ra ∆KEB ᔕ ∆KCF (g.g).

Do đó $\frac{KE}{KC}=\frac{EB}{CF}$

Mà $\frac{KB}{KE}=\frac{FB}{CE}$ (vì ∆KFB ᔕ ∆KCE) nên $\frac{KB}{KC}=\frac{KB}{KE}.\frac{KE}{KC}=\frac{BF}{CF}.\frac{BE}{CE}$. (1)

Tương tự, hai tam giác BDF và BAC có:

$\widehat{BDF}=180°-\widehat{FDC}=\widehat{BAC}$

$\widehat{DBF}=\widehat{ABC}$ (góc chung)

Suy ra ∆BDF ᔕ ∆BAC (g.g).

Do đó $\frac{DB}{AB}=\frac{BF}{BC}$

Tương tự, suy ra $\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{BC}$

Do đó $\frac{DB}{DC}=\frac{BF}{CE}.\frac{AB}{AC}$. (2)

Mà ∆BDF ᔕ ∆BAC (g.g) do đây là hai tam giác vuông có chung góc nhọn A nên $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{KB}{KC}=\frac{DB}{DC}$.(đpcm)

Bài 9.53 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho một lục giác đều và một tam giác đều cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng tam giác đều có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của hình lục giác đều đã cho.

Lời giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng 3 cm có bán kính là: $R=\frac{\sqrt{3}}{3}.3=\sqrt{3}$(cm)

Lục giác đều nội tiếp đường tròn đó có cạnh là: $a=R=\sqrt{3}$(cm).

Chu vi của lục giác đều đó là: C = 6a = $6\sqrt{3}$(cm)

Diện tích của lục giác đều là diện tích của 6 tam giác đều có cạnh a, đường cao $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ nên có diện tích là: $6.\frac{ah}{2}=6.a.\frac{\sqrt{3}}{2}a=9\sqrt{3}$(cm²).

Vậy lục giác đều đó có chu vi là $6\sqrt{3}$cm và diện tích là $9\sqrt{3}$cm².

Bài 9.54 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho đa giác đều ϰ có 12 cạnh, nội tiếp một đường tròn (O). Kẻ các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của ϰ và thu được 12 góc nhọn tại đỉnh O (không chồng lên nhau).

a) Chứng tỏ rằng mỗi góc nhọn này có số đo bằng 30°.

b) Hãy chỉ ra 12 phép quay giữ nguyên ϰ.

Lời giải:

a) Các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của ϰ tạo thành 12 góc nhọn tại đỉnh O.

Mỗi góc nhọn đó là một góc ở tâm của (O) và chắn một cung bằng $\frac{1}{12}$ đường tròn.

Vậy số đo của mỗi góc đó là $\frac{360°}{12}=30°$(đpcm).

b) Có 12 phép quay giữ nguyên ϰ là các phép quay thuận chiều lần lượt 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330° và 360° tâm O.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 29: Tứ giác nội tiếp

Bài 30: Đa giác đều

Bài 31: Hình trụ và hình nón

Bài 32: Hình cầu

Bài tập cuối chương 10

Xem thêm tài liệu Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 9 lớp 9

Giáo án điện tử Bài tập cuối chương 9 lớp 9

Giáo án Bài tập cuối chương 9 lớp 9

Giải sgk Toán 9: Bài tập cuối chương 9