Giải sbt Toán 9 Bài 28 (Kết nối tri thức): Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Giải SBT Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 9.8 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng $\widehat{ACB}=50°,\widehat{ABC}=70°,$ tính số đo các cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC},\stackrel{⏜}{CA},\stackrel{⏜}{AB}$ của đường tròn (O).

Lời giải:

● Xét đường tròn (O), ta có:

− Góc nội tiếp ACB chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AB}$ nên

$sđ\stackrel{⏜}{AB}=2\widehat{ACB}=2.50°=100°$

− Góc nội tiếp ABC chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}$ nên

$sđ\stackrel{⏜}{AC}=2\widehat{ABC}=2.70°=140°$

● Xét tam giác ABC có

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180°-70°-50°=60°$

Góc nội tiếp ABC chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}$ nên $sđ\stackrel{⏜}{BC}=2\widehat{BAC}=2.60°=120°$

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{AB}=100°, sđ\stackrel{⏜}{AC}=140°, sđ\stackrel{⏜}{BC}=120°$

Bài 9.9 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng $\widehat{BOC}=100°.$

Lời giải:

Do góc BAC là góc nội tiếp và BOC là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ nên $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{100°}{2}=50°$

Do tam giác ABC cân tại A nên

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\left(180°-\widehat{BAC}\right)=\frac{1}{2}\left(180°-50°\right)=65°$

Vậy $\widehat{BAC}=50°, \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=65°$

Bài 9.10 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính bán kính và chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh AB = 6 cm, AC = 8 cm và BC =10 cm.

Lời giải:

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta thấy: 6² + 8² = 10² hay AB² + AC² = BC².

Theo định lí Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là trung điểm của BC và bán kính là $R=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$(cm).

Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp đó là $C=2\pi R=2\pi .5=10\pi \approx \mathrm{31,4}$(cm).

Bài 9.11 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính 3 cm.

Lời giải:

Gọi a và h lần lượt là độ dài cạnh và chiều cao của tam giác đều, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Ta có: $\frac{2}{3}h=r$ hay $\frac{2}{3}h=3$

Suy ra h = 4,5 (cm).

Khi đó $\frac{\sqrt{3}}{3}a=r$ hay $\frac{\sqrt{3}}{3}a=3$ nên $a=3\sqrt{3}$(cm).

Chu vi của tam giác là:

$C=3a=3.3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$ (cm)

Diện tích của tam giác là:

$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}.3\sqrt{3}\mathrm{.4,5}=\frac{27\sqrt{3}}{4}$(cm²)

Vậy chu vi tam giác đó là $9\sqrt{3}$cm và diện tích tam giác đó là $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ cm²

Bài 9.12 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Tính chu vi và diện tích của tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn bán kính 3 cm.

Lời giải:

Gọi a và h lần lượt là độ dài cạnh và chiều cao của tam giác đều, r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều.

Ta có: $\frac{1}{3}h=r$ hay $\frac{1}{3}h=3$

Suy ra h = 9 (cm).

Khi đó $\frac{\sqrt{3}}{6}a=r$ hay $\frac{\sqrt{3}}{6}a=3$

Suy ra $a=6\sqrt{3}$(cm).

Chu vi của tam giác là:

$C=3a=3.6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$ (cm)

Diện tích của tam giác là:

$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}.6\sqrt{3}.9=27\sqrt{3}$ (cm²)

Vậy chu vi tam giác đó là $18\sqrt{3}$cm và diện tích tam giác đó là $27\sqrt{3}$cm².

Bài 9.13 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại Acó AB = 4 cm, AC = 6 cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Theo định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² =AB² + AC² = 4² + 6² = 52, hay BC = $2\sqrt{13}$(cm).

Diện tích của tam giác ABC là

$S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6}=12$(cm²)

Gọi (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có:

$S=S_{BIC}+S_{CIA}+S_{IAB}=\frac{1}{2}r\left(BC+CA+AB\right)$

Suy ra $r=\frac{2S}{BC+CA+AB}=\frac{2.12}{4+6+2\sqrt{13}}=\frac{12}{5+\sqrt{13}}$(cm).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $r=\frac{12}{5+\sqrt{13}}$cm.

Bài 9.14 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2 cm. Biết rằng AC = 2 cm, tính số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh BC.

Do đó tam giác AOC có: OA = OC = AC = 2 cm.

Suy ra tam giác AOC là tam giác đều.

Từ đó ta có $\widehat{ACO}=\widehat{AOC}$.

Vì vậy $\widehat{ACB}=\widehat{ACO}$ = 60°.

Mặt khác, góc nội tiếp ABC và góc ở tâm AOC của (O) cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AC}$ nên $\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\frac{60°}{2}=30°$

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$

Vậy $\widehat{ACB}=60°, \widehat{ABC}=30°, \widehat{BAC}=90°$

Bài 9.15 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng:

a) $\widehat{OBC}=90°-\widehat{BAC};$

b) $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$

Lời giải:

Vì góc nội tiếp BAC và góc ở tâm BOC của (O) cùng chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{BC}$ nên $\widehat{BAC}=\widehat{BOC}$. (1)

Mặt khác, vì tam giác BOC cân tại O nên

$\widehat{OBC}=\frac{\widehat{OBC}+\widehat{OCB}}{2}=\frac{180°-\widehat{BOC}}{2}=90°-\frac{\widehat{BOC}}{2}$

Thay vào (1), ta được $\widehat{OBC}=90°-\widehat{BAC}$. (đpcm)

b) Tương tự như trên, ta có:

$\widehat{OAC}=\frac{\widehat{OAC}+\widehat{OCA}}{2}=\frac{180°-\widehat{AOC}}{2}=90°-\widehat{ABC}$ (2)

Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{BAD}=90°-\widehat{ABC}$(vì tam giác ABD vuông tại D).

Thay vào (2) ta suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$. (đpcm)

Bài 9.16 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Chứng minh rằng:

$\widehat{BIC}=90°+\frac{\widehat{BAC}}{2}; \widehat{CIA}=90°+\frac{\widehat{CBA}}{2}; \widehat{AIB}=90°+\frac{\widehat{ACB}}{2}$

Lời giải:

Vì I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

$\widehat{IBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2};\widehat{ICB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$.

Vì tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180° nên ta có:

$\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=90°-\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Vì tổng các góc trong tam giác BIC bằng 180° nên ta có:

$\widehat{BIC}=180°-\widehat{IBC}-\widehat{ICB}=180°-\left(90°-\frac{\widehat{BAC}}{2}\right)=90°+\frac{\widehat{BAC}}{2}$. (đpcm)

Tương tự, ta có $\widehat{CIA}=90°+\frac{\widehat{CBA}}{2};\widehat{AIB}=90°+\frac{\widehat{ACB}}{2}$(đpcm).

Bài 9.17 trang 53 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC và điểm D trên cung nhỏ BC của (O) sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$. Chứng minh rằng ∆AMB ᔕ ∆ACD.

Lời giải:

Xét ∆AMB và ∆ACD có:

$\widehat{ABM}=\widehat{ADC}$(hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AC}$)

$\widehat{BAM}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}=\widehat{BAC}-\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$(theo giả thiết).

Suy ra ∆AMB ᔕ ∆ACD (g.g).

Bài 9.18 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại B nội tiếp đường tròn (O) và đường kính BD. Tính số đo của góc BAC, biết rằng $\widehat{BAC}=2\widehat{CBD}$.

Lời giải:

Xét trong đường tròn (O), ta có:

● Các góc nội tiếp CBD và CAD cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{CD}$ nên $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$. (1)

● Góc nội tiếp BAD chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BAD}$ = 90°. (2)

Từ (1), (2) và giả thiết, ta suy ra $\frac{3}{2}\widehat{BAC}=\widehat{BAC}+\widehat{CBD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=90°$

Do đó $\widehat{BAC}=\frac{2}{3}.90°=60°$

Vậy $\widehat{BAC}=60°$

Bài 9.19 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A). Chứng minh rằng X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Lời giải:

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên

$\widehat{IAB}=\frac{\widehat{BAC}}{2};\widehat{IBA}=\widehat{IBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$

Do đó $\widehat{BIX}=180°-\widehat{BIA}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{ABC}}{2}$. (1)

Mặt khác vì $\widehat{CBX}$ và $\widehat{CAX}$ là các góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{CX}$ nên $\widehat{CBX}=\widehat{CAX}$

Do đó $\widehat{IBX}=\widehat{IBC}+\widehat{CBX}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\widehat{CAX}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{CAB}}{2}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BIX}=\widehat{IBX}$ hay tam giác IBX cân tại X. Do đó XI = XB.

Tương tự ta có XI = IC.

Vậy X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC (đpcm).

Bài 9.20 trang 54 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆A'B'C' với tỉ số đồng dạng k > 0. Gọi (O; R) và (O'; R') lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A'B'C'. Gọi (I; r) và (I'; r') lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng $\frac{R}{R\text{'}}=\frac{r}{r\text{'}}=k$

Lời giải:

Các góc BOC và BAC là góc ở tâm và góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{BC}$ nên $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}$

Các góc B'O'C' và B'A'C' là góc ở tâm và góc nội tiếp của (O') cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{B\text{'}C\text{'}}$ nên $\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}}=2\widehat{B\text{'}A\text{'}C\text{'}}$

Xét tam giác BOC và tam giác B'O'C' ta có:

$\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=2\widehat{B\text{'}A\text{'}C\text{'}}=\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}};$

$\widehat{CBO}=\frac{180°-\widehat{BOC}}{2}=\frac{180°-\widehat{B\text{'}O\text{'}C\text{'}}}{2}=\widehat{C\text{'}B\text{'}O\text{'}}$

Do đó ∆BOC ᔕ ∆B'O'C' (g.g).

Suy ra $\frac{R}{R\text{'}}=\frac{OB}{O\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=k$

Xét tam giác BIC và tam giác B'I'C' ta có:

$\widehat{IBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{2}=\widehat{I\text{'}B\text{'}C\text{'}};$

$\widehat{ICB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\widehat{A\text{'}C\text{'}B\text{'}}}{2}=\widehat{I\text{'}C\text{'}B\text{'}}$

Do đó ∆BIC ᔕ ∆B'I'C' (g.g).

Suy ra $\frac{IB}{I\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=k$

Gọi D và D' lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I, I' xuống BC, B'C', ta có:

$\frac{r}{r\text{'}}=\frac{ID}{I\text{'}D\text{'}}=\frac{IB\cos \widehat{IBC}}{I\text{'}B\text{'}\cos \widehat{I\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{IB}{I\text{'}B\text{'}}=k$

Vậy $\frac{R}{R\text{'}}=\frac{r}{r\text{'}}=k$(đpcm).

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 29: Tứ giác nội tiếp

Bài 30: Đa giác đều

Bài tập cuối chương 9

Bài 31: Hình trụ và hình nón

Bài 32: Hình cầu

Xem thêm tài liệu Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác lớp 9

Giáo án điện tử Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác lớp 9

Giáo án Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác lớp 9

Giải sgk Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác