Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

1. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác

1.1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Trong hình vẽ trên, đường tròn (O; OA) ngoại tiếp tam giác ABC. Ta cũng nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hay (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Ví dụ 1. Trong các hình sau, hình nào biểu diễn đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC? Vì sao?

Hướng dẫn giải

– Ở Hình a), ta có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì đường tròn (O) đi qua cả ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

– Ở Hình b), ta có đường tròn (O) không là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì đường tròn (O) không đi qua đỉnh C của tam giác ABC.

1.2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ 2. Xác định tâm và tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, với BC = 16 cm.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC của tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8$ (cm).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là trung điểm của BC và bán kính R = 8 cm.

1.3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}a.$

Ví dụ 3. Ba vị trí A, B, C ở một khu vui chơi là ba đỉnh của một tam giác đều có cạnh bằng 24 m. Người ta cần chọn vị trí O cách đều ba vị trí A, B, C để xây một bồn hoa. Tính khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí A, B, C (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Vì O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác đều ABC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Do đó, khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí A, B, C là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Tức là, $OA=OB=OC=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 24=8\sqrt{3}\approx 13,86$ (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí O xây bồn hoa đến mỗi vị trí A, B, C bằng khoảng 13,86 m.

2. Đường tròn nội tiếp một tam giác

2.1. Đường tròn nội tiếp tam giác

Định nghĩa: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Chú ý: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp điểm nằm trên cạnh đó.

Ví dụ 4. Trong các hình sau, hình nào biểu diễn đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC? Vì sao?

Hướng dẫn giải

– Ở Hình a), ta có đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì đường tròn (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt tại các tiếp điểm M, N, P.

– Ở Hình b), ta có đường tròn (I) không là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì đường tròn (I) không tiếp xúc với cạnh AB của tam giác ABC.

2.2. Đường tròn nội tiếp tam giác đều

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\frac{\sqrt{3}}{6}a.$

Ví dụ 5. Xác định tâm và tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có độ dài mỗi cạnh bằng 24 cm.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trọng tâm của tam giác đều ABC.

Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: $r=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 24=4\sqrt{3}$ (cm).

Vậy đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và có bán kính $r=4\sqrt{3}$ cm.

Sơ đồ tư duy Đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài tập Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Trọng tâm của tam giác đều vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều đó;

B. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó;

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền;

D. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua nhiều nhất là ba đỉnh của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương án A, B, C đúng.

Phương án D sai. Sửa lại: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 2 cm và AC = 4 cm. Khi đó bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. $R=2\sqrt{5}$ cm;

B. $R=\sqrt{5}$ cm;

C. R = 10 cm;

D. R = 5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC của tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

Suy ra BC² = AB² + AC² = 2² + 4² = 20.

Do đó $BC=2\sqrt{5}$ (cm).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R=\frac{BC}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$ (cm).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính $R=\sqrt{5}$ cm.

Ta chọn phương án B.

Bài 3. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O; 4 cm). Khi đó độ dài cạnh AB bằng

A. $AB=\sqrt{3}$ cm;

B. AB = 24 cm;

C. $AB=8\sqrt{3}$ cm;

D. $AB=4\sqrt{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC là: $r=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot AB=4$ (cm).

Suy ra $AB=8\sqrt{3}$ (cm).

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) có đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) DB ⊥ AB.

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) AC² + BH² = 4R².

d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng.

e) AH = 2OM.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{ABD}=90°.$

Vậy DB ⊥ AB.

b) Ta có DB ⊥ AB (câu a) và CH ⊥ AB (do H là trực tâm của tam giác ABC).

Suy ra DB // CH (1)

Chứng minh tương tự câu a, ta có CD ⊥ AC.

Mà BH ⊥ AC (do là trực tâm của tam giác ABC) nên CD // BH (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) Vì tứ giác BHCD là hình bình hành nên BH = CD.

Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ACD vuông tại C, ta được:

AC² + CD² = AD²

Suy ra AC² + BH² = (2R)² = 4R².

Vậy AC² + BH² = 4R².

d) Hình bình hành BHCD có M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HD.

Vậy ba điểm H, M, D thẳng hàng.

e) Đường tròn (O) có AD là đường kính nên O là trung điểm của AD.

Xét ∆AHD có O, M lần lượt là trung điểm của AD, HD nên OM là đường trung bình của tam giác AHD.

Do đó $OM=\frac{1}{2}AH$ hay AH = 2OM.

Bài 5. Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K) sao cho hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn AC. Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M, đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N. Chứng minh:

a) Ba điểm I, H, K thẳng hàng.

b) AM = AN.

c) $\widehat{BAD}=2\widehat{IAK}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có đường tròn (I) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (I), với H là tiếp điểm hay IH ⊥ AC tại H.

Chứng minh tương tự, ta được KH ⊥ AC tại H.

Vậy ba điểm I, H, K thẳng hàng.

b) Ta có đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M nên AM là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Mà AH cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I) và AM, AH cắt nhau tại A, áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được AM = AH.

Chứng minh tương tự, ta được AN = AH.

Vậy AM = AN.

c) Ta có AB, AH là các tiếp tuyến của đường tròn (I) cắt nhau tại A, áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $\widehat{BAI}=\widehat{IAH}.$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{DAK}=\widehat{KAH}.$

Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{BAI}+\widehat{IAH}+\widehat{HAK}+\widehat{KAD}$

 $=2\widehat{IAH}+2\widehat{KAH}=2\left(\widehat{IAH}+\widehat{KAH}\right)=2\widehat{IAK}.$

Vậy $\widehat{BAD}=2\widehat{IAK}.$

Bài 6. Một trang trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 150 m (như hình vẽ). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đều. Nêu cách xác định vị trí đặt đèn và tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Gọi O là vị trí cần đặt đèn. Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác đều (như hình vẽ).

Vì O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác đều ABC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí A, B, C là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Do đó $OA=OB=OC=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 150=50\sqrt{3}\approx 86,6$ (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí đặt đèn O đến ba đỉnh của tam giác đều ABC bằng khoảng 86,6 m.