Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Để giải phương trình (ax + b)(cx + d) = 0, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) 2x(5x + 1) = 0;

b) (2x + 4)(3x + 7) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2x(5x + 1) = 0

Nên 2x = 0 hoặc 5x + 1 = 0

• 2x = 0, suy ra x = 0.

• 5x + 1 = 0 hay 5x = –1, suy ra $x=-\frac{1}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{1}{5}$

b) Ta có (2x + 4)(3x + 7) = 0

Nên 2x + 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0.

• 2x + 4 = 0 hay 2x = –4, suy ra x = –2.

• 3x + 7 = 0 hay 3x = –7, suy ra $x=-\frac{7}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và $x=-\frac{7}{3}$.

Nhận xét: Để giải phương trình, ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0.

Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) (2x + 1)² – 9x² = 0;

b) x² – 2x = 3x – 6.

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

(3x + 1)² – 16x² = 0

(3x + 1)² – (4x)² = 0

(3x + 1 + 4x)(3x + 1 – 4x) = 0

(7x + 1)(–x + 1) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 7x + 1 = 0 hay 7x = –1, suy ra $x=\frac{-1}{7}$

• –x + 1 = 0 hay –x = –1, suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-1}{7}$ và x = 1.

b) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x² – 2x = 3x – 6

x² – 2x – 3x + 6 = 0

(x² – 2x) – (3x – 6) = 0

x(x – 2) – 3(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• x – 2 = 0 suy ra x = 2.

• x – 3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.1. Điều kiện xác định của một phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5x-4}{x-3}=1;$

b) $\frac{x-1}{x-5}=\frac{1}{2x+3}-\frac{2}{5}$

Hướng dẫn giải

a) Vì x – 3 ≠ 0 hay x ≠ 3 nên ĐKXĐ của phương trình$\frac{5x-4}{x-3}=1$ là x ≠ 3.

b) Ta có x – 5 ≠ 0 khi x ≠ 5 và 2x + 3 ≠ 0 khi $x\ne \frac{-3}{2}$ nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{x-1}{x-5}=\frac{1}{2x+3}-\frac{2}{5}$ là x ≠ 5 và $x\ne \frac{-3}{2}$.

2.2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $\frac{x-4}{x+1}+\frac{x}{2x-1}=0;$

b) $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x\ne \frac{1}{2}$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-4}{x+1}+\frac{x}{2x-1}=0$

$\frac{\left(x-4\right)\left(2x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}+\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}=0$

Suy ra (x – 4)(2x – 1) + x(x + 1) = 0

(2x² – 8x – x + 4) + (x² + x) = 4 – 6x

x² – 9x + 4 + x² + x = 4 – 6x

2x² – 8x + 4 = 4 – 6x

2x² – 8x + 6x = 4 – 4

2x² -2x = 0

2x(x – 1) = 0

2x = 0 hoặc x – 1 = 1

x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 1(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{x^2-4}$

$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{4-6x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

Suy ra (x – 1)(x – 2) – x(x + 2) = 4 – 6x

(x² – 3x + 2) – (x² + 2x) = 4 – 6x

x² – 3x + 2 – x² – 2x = 4 – 6x

–5x + 2 = 4 – 6x

6x - 5x = 4 - 2

x = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

B. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là

A. x ≠ 2;

B. x ≠-2;

C. x ≠ 2 và x ≠ 1;

D. x ≠ 2 và x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là x - 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.

Bài 2. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (x – 7)(2x + 5) = 0;

c) x(3x + 5) – 9x – 15 = 0;

d) x² - 16 + 5x(x - 4) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(4x + 3) = 0

Nên 5x = 0 hoặc 4x + 3 = 0

• 5x = 0, suy ra x = 0.

• 4x + 3 = 0 hay 4x = –3, suy ra $x=-\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{3}{4}$

b) Ta có (x – 7)(2x + 5) = 0

Nên x – 7 = 0 hoặc 2x + 5 = 0.

• x – 7 = 0 suy ra x = 7.

• 2x + 5 = 0 hay 2x = –5, suy ra $x=-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 7 và $x=-\frac{5}{2}$.

c) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x(3x + 5) – 9x – 15 = 0

x(3x + 5) – 3(3x + 5) = 0

(3x + 5)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 3x + 5 = 0 hay 3x = -5 suy ra $x=\frac{-5}{3}$.

• x -3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-5}{3}$ và x = 3.

Bài 3. Nghiệm của phương trình (x + 3)(x - 1) = 0 là

A. x = 1;

B. x = -3;

C. x = 1; x = -3;

D. x = -1; x = -3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (x + 3)(x - 1) = 0

Nên x + 3= 0 hoặc x - 1 = 0.

• x + 3 = 0 suy ra x = -3.

• x - 1 = 0 suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -3 và x = 1.

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{2x-3}{4x+1}=1;$

b) $\frac{x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{2x+1}=\frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là 4x +1 ≠ 0 hay $x\ne -\frac{1}{4}$.

b) Ta có 3x + 1 ≠ 0 khi $x\ne -\frac{1}{3}$ và 2x –+1 ≠ 0 khi $x\ne -\frac{1}{2}$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne -\frac{1}{3}$ và $x\ne -\frac{1}{2}$.

Bài 5. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$;

b) $\frac{2}{x+3}-\frac{3}{x-2}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$;

c) $\frac{x-5}{x+1}+\frac{5}{x}=\frac{6}{x^2+x}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x\ne \frac{1}{2}$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$

$\frac{2x-2\left(x+2\right)}{x+2}=\frac{x}{x+2}$

Suy ra 2x – 2(x + 2) = x

2x – 2x – 4 = x

x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ –3 và x ≠ 2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2}{x+3}-\frac{3}{x-2}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

Suy ra 2(x – 2) – 3(x + 3) = 1 – 5x

2x – 4 – 3x – 9 = 1 – 5x

-x - 13 = 1 - 5x

-x + 5x = 1 + 13

4x = 14

$x=\frac{7}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{7}{2}$

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ –1.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-5}{x+1}+\frac{5}{x}=\frac{6}{x^2+x}$

$\frac{x\left(x-5\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{5\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

$\frac{x^2-5x}{x\left(x+1\right)}+\frac{5x+5}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

$\frac{x^2+5}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

Suy ra x² + 5 = 6

x² = 1

x = ±1

Đối chiếu ĐKXĐ nên suy ra x = 1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

C. Sơ đồ tư duy Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.