Lý thuyết Hình cầu - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 9 Bài 32: Hình cầu

1. Mặt cầu và hình cầu

− Một số yếu tố của mặt cầu:

Tâm mặt cầu: O.

Bán kính mặt cầu: R = OB.

− Nếu cắt một hình cầu bởi một mẳng phẳng thì phần chung của mặt phẳng và hình cầu (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

− Nếu cắt một mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và mặt cầu là một đường tròn.

+ Khi mặt phẳng đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính R và được gọi là đường tròn lớn.

+ Khi mặt phẳng không đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính nhỏ hơn R.

Ví dụ: Trái đất là một hình cầu với bán kính bằng 6 400 km.

2. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

− Diện tích hình cầu: S = 4πR².

− Thể tích hình cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Ví dụ: Biết Trái Đất có bán kính bằng 6 400 km. Tính diện tích bề mặt và thể tích Trái Đất.

Hướng dẫn giải

Diện tích bề mặt Trái Đất là:

S = 4πR² = 4π . 6 400² ≈ 514 457 600 (km²)

Thể tích Trái Đất là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .6{400}^3\approx 1,098.{10}^{12}$(km³)

Sơ đồ tư duy Hình cầu

Bài tập Hình cầu

Bài 1. Một phao có hình cầu tự động đóng nước chảy vào bể khi bể đầy. Biết diện tích bề mặt của phao là 804 cm², bán kính của phao là (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

A. 5 cm.

B. 6 cm.

C. 7 cm.

D. 8 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ công thức S = 4πR².

Suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}=\sqrt{\frac{804}{4\pi }}\approx 8$ (cm).

Bài 2. Phần trên của một chiếc cốc chân cao có dạng nửa hình cầu. Biết cốc này có thể chứa được 56,5 ml nước. Đường kính của miệng cốc là

A. 5 cm.

B. 6 cm.

C. 7 cm.

D. 8 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì dung dích của cốc là 56,5 ml nên thể tích của cốc là 56,5 cm³.

Ta có $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, do đó có thể tích của nửa hình cầu là $\frac{2}{3}\pi R^3$.

Theo đề bài, ta có $\frac{2}{3}\pi R^3=56,5$.

Do đó $R^3=\frac{\mathrm{3.56.5}}{2\pi }\approx 27$ (cm³), suy ra R = 3 cm.

Vậy đường kính của miệng cốc là 3 · 2 = 6 (cm).

Bài 3. Một trái dưa có dạng hình cầu. Bổ đôi trái dưa này ra thì mặt cắt có diện tích là 314 cm². Tính thể tích của trái dưa đó.

Hướng dẫn giải

Khi bổ đôi trái dưa thì mặt cắt là một hình tròn.

Ta có: S = πR²

Suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}\approx \sqrt{\frac{314}{3,14}}=10$ (cm).

Thể tích của trái dưa là

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.10}^3\approx 4187$(cm³).

Vậy thể tích trái dưa là 4 187 (cm³).

Bài 4. Quả bóng bàn có số đo diện tích bề mặt (tính bằng cm²) gấp 1,5 lần số đo thể tích của nó (tính bằng cm³). Tính bán kính, diện tích và thể tích của quả bóng bàn.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có $4\pi R^2=1,5\cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ nên R = 2 cm.

Do đó, diện tích quả bóng là:

S = 4πR² = 16π (cm²).

Thể tích của quả bóng là:

V = $\frac{4}{3}\pi R^3$ = $\frac{4}{3}\pi {.2}^3=\frac{32}{3}\pi$(cm³).

Vậy bán kính quả bóng là 2 cm, diện tích quả bóng là 16π cm² và thể tích quả bóng là $\frac{32}{3}\pi$cm³.

Bài 5. Hình bên dưới minh họa bộ phận lọc của một bình nước. Bộ phận này gồm một hình trụ và một nửa hình cầu với kích thước ghi trên hình.

Hãy tính:

a) Thể tích của bộ phận đó;

b) Diện tích mặt ngoài của bộ phận này.

Hướng dẫn giải

a) Thể tích phần hình trụ là

V₁ = πR²h = π · 5² · 6 = 150π (cm³)

Thể tích nửa hình cầu:

$V_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3=\frac{250}{3}\pi$ (cm³)

Thể tích bộ phận lọc là:

V = V₁ + V₂ = 150π + $\frac{250}{3}\pi$= $\frac{700}{3}\pi$(cm³)

Vậy thể tích bộ phận lọc là $\frac{700}{3}\pi$cm³.

b) Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S₁ = 2πRh = 2π · 5 · 6 = 60π (cm²)

Diện tích đáy hình trụ là:

S₂ = π · R² = π · 5² = 25π (cm³)

Diện tích nửa mặt cầu là: S₃ = · 4πR² = 2π · 52 = 50π (cm³).

Diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc là:

S = S₁ + S₂ + S₃ = 60π + 25π + 50π = 135π (cm²).

Vậy diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc là 135π cm².