Tổng hợp lý thuyết Chương 2 – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán Chương 2 - Kết nối tri thức

A. Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 2

1. Phương trình tích

Để giải phương trình (ax + b)(cx + d) = 0, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Nhận xét: Để giải phương trình, ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0.

Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.1. Điều kiện xác định của một phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

2.2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

3. Bất đẳng thức

3.1. Nhắc lại thứ tự trên tập hợp số thực

− Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:

• Số a bằng số b, kí hiệu a = b;

• Số a lớn hơn số b, kí hiệu a > b;

• Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a < b.

− Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn

• Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là a > b hoặc a = b, kí hiệu a ≥ b;

• Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là a < b hoặc a = b, kí hiệu a ≤ b.

3.2. Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b), được gọi là bất đẳng thức và a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

3.3. Tính chất bắc cầu

Bất đẳng thức có tính chất quan trọng sau:

Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức).

Chú ý: Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (≥), nhỏ hơn hoặc bằng (≤) cũng có tính chất bắc cầu.

4. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b và c, ta có:

• Nếu a < b thì a + c < b + c.

• Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c.

• Nếu a > b thì a + c > b + c.

• Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

5. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

−Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b và c > 0, ta có:

• Nếu a < b thì ac < bc;

• Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc;

• Nếu a > b thì ac > bc;

• Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

−Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b và c > 0, ta có:

• Nếu a < b thì ac > bc;

• Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc;

• Nếu a > b thì ac < bc;

• Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

6. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

6.1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤0, ax + b ≥ 0), trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x).

6.2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

•Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) > B(x) nếu A(x₀) > B(x₀)là khẳng định đúng.

• Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

7. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b > 0 (a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b < 0

ax < −b.

• Nếu a > 0 thì $x<-\frac{b}{a}.$

• Nếu a < 0 thì $x>-\frac{b}{a}.$

Chú ý:

− Các bất phương trình ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 được giải tương tự.

− Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được về dạng ax + b < 0,ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0.

B. Bài tập cuối chương 2

Bài 1. Hệ thức nào sau đây là bất đẳng thức?

A. 2x – 8 = 0.

B. 3x = y.

C. 3x² + 1 = 0.

D. y² – 2 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Các hệ thức 2x – 8 = 0; 3x² + 1 = 0; 3x = y là đẳng thức.

• Hệ thức y² – 2 ≥ 0 là bất đẳng thức.

Bài 2. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là

A. x ≠ 2;

B. x ≠ -2;

C. x ≠ 2 và x ≠ 1;

D. x ≠ 2 và x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x-2}=x$ là x - 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.

Bài 3. Nghiệm của phương trình (x + 3)(x - 1) = 0 là

A. x = 1;

B. x = -3;

C. x = 1; x = -3;

D. x = -1; x = -3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (x + 3)(x - 1) = 0

Nên x + 3= 0 hoặc x - 1 = 0.

• x + 3 = 0 suy ra x = -3.

• x - 1 = 0 suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -3 và x = 1.

Bài 4. Trên trục số, điểm biểu diễn số a nằm bên phải điểm biểu diễn số b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a < b.

B. a > b.

C. a ≤ b.

D. a = b.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì trên trục số, điểm biểu diễn số a nằm bên phải điểm biểu diễn số b nên a lớn hơn b hay a> b.

Bài 5. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 5x + y > 0.

B. $x^3-\frac{1}{2}<0$

C. $-\frac{2}{3}x+5\le 0$.

D. 0x + 6 > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Bất phương trình 5x + y > 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì xuất hiện hai ẩn x và y.

• Bất phương trình $x^3-\frac{1}{2}<0$ không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì vì x³có bậc là 3.

• Bất phương trình $-\frac{2}{3}x+5\le 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn với $a=-\frac{2}{3}\ne 0;b=5.$

• Bất phương trình 0x + 6 > 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

Bài 6. Nghiệm của bất phương trình 11-7x $\ge$ 0 là

A. $x\ge \frac{11}{7}.$

B. $x\ge -\frac{11}{7}.$

C. $x\le -\frac{7}{11}.$

D.$x\le \frac{11}{7}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 11-7x $\ge$ 0

11 $\ge$7x

7x $\le$11

$x\le \frac{11}{7}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{11}{7}$.

Bài 7. Xác định vế trái và vế phải của bất đẳng thức sau:

a) –3x + 2 > 7;

b) 2x – 1 ≤ 3x + 5;

c) x² + 2 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

a) Vế trái là –3x + 2, vế phải là 7;

b) Vế trái là 2x – 1, vế phải là 3x + 5;

c) Vế trái là x² + 2, vế phải là 0.

Bài 8. Cho a > b. Khi đó ta có:

A. 2a > 7b.

B. 2a > 2b + 1.

C. 5a + 2 > 5b + 2.

D. –6a < –6b – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: a > b, suy ra 5a > 5b, do đó 5a + 2 > 5b + 2.

Bài 9. Hãy cho biết các bất đẳng thức được tạo thành khi:

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 5 với −1;

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a – 1 ≤ b² – 1 với 4 ;

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 3 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 4;

Hướng dẫn giải

a) Cộng hai vế của bất đẳng thức a > 5 với −1 ta được:

a – 1 > 5 – 1

a – 1 > 4.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là a – 1 > 4.

b) Cộng hai vế của bất đẳng thức 2a – 1 ≤ b² – 1 với 4 ta được:

2a – 1 + 4 ≤ b² – 1 + 4

2a + 3 ≤ b² + 3.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là 2a + 3 ≤ b² + 3.

c) Nhân hai vế của bất đẳng thức a < 3 với (–2), rồi tiếp tục cộng với 4 ta được:

–2a > (–2) . 3

–2a + 4 > (–2) . 3 + 4

–2a + 4 > –2.

Vậy bất đẳng thức được tạo thành là –2a + 4 > –2.

Bài 10. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{2x-3}{4x+1}=1;$

b) $\frac{x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{2x+1}=\frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là 4x +1 ≠ 0 hay $x\ne -\frac{1}{4}$.

b) Ta có 3x + 1 ≠ 0 khi $x\ne -\frac{1}{3}$ và 2x –+1 ≠ 0 khi $x\ne -\frac{1}{2}$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x\ne -\frac{1}{3}$ và $x\ne -\frac{1}{2}$.

Bài 11. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (x – 7)(2x + 5) = 0;

c) x(3x + 5) – 9x – 15 = 0;

d) x² - 16 + 5x(x - 4) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(4x + 3) = 0

Nên 5x = 0 hoặc 4x + 3 = 0

• 5x = 0, suy ra x = 0.

• 4x + 3 = 0 hay 4x = –3, suy ra $x=-\frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x=-\frac{3}{4}$

b) Ta có (x – 7)(2x + 5) = 0

Nên x – 7 = 0 hoặc 2x + 5 = 0.

• x – 7 = 0 suy ra x = 7.

• 2x + 5 = 0 hay 2x = –5, suy ra $x=-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 7 và $x=-\frac{5}{2}$.

c) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x(3x + 5) – 9x – 15 = 0

x(3x + 5) – 3(3x + 5) = 0

(3x + 5)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 3x + 5 = 0 hay 3x = -5 suy ra $x=\frac{-5}{3}$.

• x -3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{-5}{3}$ và x = 3.

Bài 12. Giải các phương trình:

a) $\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$;

b) $\frac{2}{x+3}-\frac{3}{x-2}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$;

c) $\frac{x-5}{x+1}+\frac{5}{x}=\frac{6}{x^2+x}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x\ne \frac{1}{2}$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2x}{x+2}-2=\frac{x}{x+2}$

$\frac{2x-2\left(x+2\right)}{x+2}=\frac{x}{x+2}$

Suy ra 2x – 2(x + 2) = x

2x – 2x – 4 = x

x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ –3 và x ≠ 2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2}{x+3}-\frac{3}{x-2}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{1-5x}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}$

Suy ra 2(x – 2) – 3(x + 3) = 1 – 5x

2x – 4 – 3x – 9 = 1 – 5x

-x - 13 = 1 - 5x

-x + 5x = 1 + 13

4x = 14

$x=\frac{7}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{7}{2}$

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ –1.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x-5}{x+1}+\frac{5}{x}=\frac{6}{x^2+x}$

$\frac{x\left(x-5\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{5\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

$\frac{x^2-5x}{x\left(x+1\right)}+\frac{5x+5}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

$\frac{x^2+5}{x\left(x+1\right)}=\frac{6}{x\left(x+1\right)}$

Suy ra x² + 5 = 6

x² = 1

x = ±1

Đối chiếu ĐKXĐ nên suy ra x = 1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Bài 13. Cho m > n, hãy so sánh:

a) 4m + 5 và 4n + 5;

b) –2m – 11 và –2n – 11.

Lời giải:

a) Vì m > n nên 4a > 4b, suy ra 4m + 5 > 4n + 5.

Vậy 4m + 5 > 4n + 5.

b) Vì m > n nên –2m < –2n, suy ra –2m – 11 và –2n – 11.

Vậy –2m – 11 và –2n – 11.

Bài 14. Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 3x – 7 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{3}x+1$ là số không âm.

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của biểu thức 3x – 7 là số dương. Ta có:

3x – 7 > 0

3x > 7

$x>\frac{7}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{7}{3}.$

b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{3}x+1$ là số không âm. Ta có:

$\frac{2}{3}x+1\le 0$

$\frac{2}{3}x\le -1$

$x\le -\frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le -\frac{3}{2}$.

Bài 15. Giải các bất phương trình sau:

a) –2x + 5 ≥ 4;

b) 3 + 2x > 7 – 5x;

c) $\frac{2}{3}\left(2x+3\right)<8-2x$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có–2x + 5 ≥ 4

–2x ≥ 4 – 5

–2x ≥ –1

$x\le \frac{-1}{-2}$

$x\le \frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{1}{2}$.

b) Ta có: 3 + 2x > 7 – 5x

2x + 5x > 7 – 3

7x > 4

$x>\frac{4}{7}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{4}{7}$.

c) Ta có:$\frac{2}{3}\left(2x+3\right)<8-2x$

$\frac{4}{3}x+2<5-2x$

$\frac{4}{3}x+2x<5-2$

$\frac{10}{3}x<3$

$x<\frac{9}{10}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{9}{10}$.

Bài 16. Việt tham dự một kì kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm 4 bài kiểm tra nghe, nói, đọc và viết. Mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ 0 đến 10. Điểm trung bình của ba bài kiểm tra nghe, nói, đọc của Thanh là 7,2. Hỏi bài kiểm tra viết của Thanh cần được bao nhiêu điểm để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,5 trở lên? Biết điểm trung bình được tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ nhất.

Lời giải:

Tổng điểm của ba môn nghe, nói, đọc của Việt khoảng: 7,4 . 3 = 22,2 ≈ 22 (do mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ 0 đến 10).

Gọi x là điểm bài kiểm tra viết của Việt (0 < x ≤ 10, x ∈ ℕ*).

Khi đó điểm trung bình bốn bài kiểm tra của Việt là: $\frac{22+x}{4}.$

Để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,0 trở lên thì:

$\frac{22+x}{4}\ge 7,5$

22 + x ≥ 30

x ≥ 8.

Mà 0 < x ≤ 10, x ∈ ℕ* nên x ∈ {8; 9; 10}.

Vậy bài kiểm tra viết của Việt cần được 8 điểm hoặc 9 điểm hoặc 10 điểm để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,5 trở lên.