Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Toán lớp 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 9 Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

1.1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0), trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn x).

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn x?

a) –2x+4 ≤ 0;

b) $3-\frac{3}{2}x<0;$

c) x³ + 1 ≥ 0.

Lời giải:

Bất phương trình ở câu a), b) là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Bất phương trình ở câu c) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì x³ là đa thức bậc ba.

1.2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) > B(x) nếu A(x₀) > B(x₀) là khẳng định đúng.

• Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 2. Trong các số $\frac{1}{2};–2;4$, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình 2x – 3 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

• Thay $x=\frac{1}{2}$ vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được $2\cdot \frac{1}{2}–3\ge 0$ là khẳng định sai.

Do đó, $x=\frac{1}{2}$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Thay x = –2 vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được 2 . (–2) – 3 ≥ 0 là khẳng định sai.

Do đó, x = –2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

• Thay x = 4 vào bất phương trình 2x – 3 ≥ 0, ta được 2 . 4 – 3 ≥ 0 là khẳng định đúng.

Do đó, x = 4 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy trong các số đã cho thì x = 4 là nghiệm của bất phương trình 2x – 3 ≥ 0.

2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b > 0 (a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b < 0

ax < −b.

• Nếu a > 0 thì $x<-\frac{b}{a}.$

• Nếu a < 0 thì $x>-\frac{b}{a}.$

Chú ý: Các bất phương trình ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 được giải tương tự.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 11x – 5 < 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:11x – 5 < 0

11x < 5

$x<\frac{5}{11}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{5}{11}$.

Chú ý: Ta cũng có thể giải được cácbất phương trình một ẩn đưa được về dạng ax + b < 0,ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 2x – 5 < 2 – 3x.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2x – 5 < 2 – 3x

2x + 3x < 5 + 2

5x < 7

$x<\frac{7}{5}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{7}{5}$.

B. Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Nghiệm của bất phương trình 11-7x $\ge$ 0 là

A. $x\ge \frac{11}{7}.$

B. $x\ge -\frac{11}{7}.$

C. $x\le -\frac{7}{11}.$

D.$x\le \frac{11}{7}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 11-7x $\ge$ 0

11 $\ge$7x

7x $\le$11

$x\le \frac{11}{7}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{11}{7}$.

Bài 2. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 5x + y > 0.

B. $x^3-\frac{1}{2}<0$

C. $-\frac{2}{3}x+5\le 0$.

D. 0x + 6 > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Bất phương trình 5x + y > 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì xuất hiện hai ẩn x và y.

• Bất phương trình $x^3-\frac{1}{2}<0$ không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì vì x³có bậc là 3.

• Bất phương trình $-\frac{2}{3}x+5\le 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn với $a=-\frac{2}{3}\ne 0;b=5.$

• Bất phương trình 0x + 6 > 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

Bài 3. Tìm x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 3x – 7 là số dương;

b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{3}x+1$ là số không âm.

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của biểu thức 3x – 7 là số dương. Ta có:

3x – 7 > 0

3x > 7

$x>\frac{7}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{7}{3}.$

b) Giá trị của biểu thức $\frac{2}{3}x+1$ là số không âm. Ta có:

$\frac{2}{3}x+1\le 0$

$\frac{2}{3}x\le -1$

$x\le -\frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le -\frac{3}{2}$.

Bài 4. Việt tham dự một kì kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm 4 bài kiểm tra nghe, nói, đọc và viết. Mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ 0 đến 10. Điểm trung bình của ba bài kiểm tra nghe, nói, đọc của Thanh là 7,2. Hỏi bài kiểm tra viết của Thanh cần được bao nhiêu điểm để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,5 trở lên? Biết điểm trung bình được tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ nhất.

Lời giải:

Tổng điểm của ba môn nghe, nói, đọc của Việt khoảng: 7,4 . 3 = 22,2 ≈ 22 (do mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ 0 đến 10).

Gọi x là điểm bài kiểm tra viết của Việt (0 < x ≤ 10, x ∈ ℕ*).

Khi đó điểm trung bình bốn bài kiểm tra của Việt là: $\frac{22+x}{4}.$

Để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,0 trở lên thì:

$\frac{22+x}{4}\ge 7,5$

22 + x ≥ 30

x ≥ 8.

Mà 0 < x ≤ 10, x ∈ ℕ* nên x ∈ {8; 9; 10}.

Vậy bài kiểm tra viết của Việt cần được 8 điểm hoặc 9 điểm hoặc 10 điểm để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,5 trở lên.

Bài 5. Giải các bất phương trình sau:

a) –2x + 5 ≥ 4;

b) 3 + 2x > 7 – 5x;

c) $\frac{2}{3}\left(2x+3\right)<8-2x$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có–2x + 5 ≥ 4

–2x ≥ 4 – 5

–2x ≥ –1

$x\le \frac{-1}{-2}$

$x\le \frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x\le \frac{1}{2}$.

b) Ta có: 3 + 2x > 7 – 5x

2x + 5x > 7 – 3

7x > 4

$x>\frac{4}{7}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{4}{7}$.

c) Ta có:$\frac{2}{3}\left(2x+3\right)<8-2x$

$\frac{4}{3}x+2<5-2x$

$\frac{4}{3}x+2x<5-2$

$\frac{10}{3}x<3$

$x<\frac{9}{10}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<\frac{9}{10}$.

C. Sơ đồ tư duy Bất phương trình bậc nhất một ẩn