Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

1. Định lí Viète

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}\right.$

Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình bậc hai sau:

a) 3x² + 4x – 5 = 0;

b) $6x^2-9x+\frac{27}{8}=0.$

Hướng dẫn giải

a) Vì b = 4 nên b’ = 2.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 2² – 3.(–5) = 19 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{3};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{3}.$

b) Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(-9\right)}^2-4\cdot 6\cdot \frac{27}{8}=0.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm trùng nhau x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{6}=\frac{3}{2};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{\frac{27}{8}}{6}=\frac{27}{8}\cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{16}.$

2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

⦁ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

⦁ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1, còn nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Ví dụ 2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 8x + 7 = 0;

b) 5x² + 2x – 3 = 0;

c) –x² + 9x – 20 = 0, biết phương trình có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm x₁ = 4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a + b + c = 1 – 8 + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁ = 1, $x_2=\frac{c}{a}=7.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x₁ = 1, x₂ = 7.

b) Ta có: a – b + c = 5 – 2 + (–3) = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁ = –1, $x_2=-\frac{c}{a}=\frac{3}{5}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x₁ = –1, $x_2=\frac{3}{5}.$

c) Gọi x₂ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{9}{-1}=9.$

Suy ra x₂ = 9 – x₁ = 9 – 4 = 5.

Vậy phương trình có hai nghiệm: x₁ = 4, x₂ = 5.

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Thiết lập phương trình bậc hai để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0.

Ví dụ 3. Tìm hai số, biết tổng và tích của chúng lần lượt bằng 15 và 54.

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x² – 15x + 54 = 0.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (–15)² – 4.1.54 = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{15+3}{2\cdot 1}=9;$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{15-3}{2\cdot 1}=6.$

Vậy hai số cần tìm là 9 và 6.

Sơ đồ tư duy Định lí Vieftee và ứng dụng

Bài tập Định lí Viète và ứng dụng

Bài 1. Tổng và tích hai nghiệm của phương trình 5x² + 12x + 6 = 0 lần lượt bằng

A. $-\frac{6}{5}$ và $\frac{6}{5};$

B. $\frac{12}{5}$ và $-\frac{6}{5};$

C. $-\frac{12}{5}$ và $\frac{6}{5};$

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Vì b = 12 nên b’ = 6.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 6² – 5.6 = 6 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{12}{5};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{5}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 2. Nhẩm nghiệm của phương trình 7x² – 2x – 9 = 0, ta được kết quả:

A. x₁ = 1, $x_2=-\frac{9}{7};$

B. x₁ = –1, $x_2=-\frac{9}{7};$

C. x₁ = 1, $x_2=\frac{9}{7};$

D. x₁ = –1, $x_2=\frac{9}{7}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: a – b + c = 7 – (–2) – 9 = 0.

Suy ra phương trình có hai nghiệm: x₁ = –1, $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{-9}{7}=\frac{9}{7}.$

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Cho hai số, biết tổng của chúng bằng –10 và tích của chúng bằng –459. Hai số đó là

A. 17 và –27;

B. 27 và –17;

C. 51 và 9;

D. 9 và –51.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x² + 10x – 459 = 0.

Vì b = 10 nên b’ = 5.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 5² – 1.(–459) = 484 > 0 và $\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{484}=22.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{-5+22}{1}=17;$

$x_2=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{-5-22}{1}=-27.$

Vậy hai số cần tìm là 17 và –27.

Do đó ta chọn phương án A.

Bài 4. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x² – 9x – 15 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:

a) $M=x_1^2+x_2^2.$

b) $N=x_1^3+x_2^3.$

c) P = (x₁ – 5)(x₂ – 5).

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có: ∆ = b² – 4ac = (–9)² – 4.2.(–15) = 201 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{2}.$

a) Ta có: $M=x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(\frac{9}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{-15}{2}=\frac{81}{4}+15=\frac{141}{4}.$

Vậy $M=\frac{141}{4}.$

b) Ta có: $N=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$

 = (x₁ + x₂).[(x₁ + x₂)² – 3x₁x₂]

 $=\frac{9}{2}\cdot \left({\left(\frac{9}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{-15}{2}\right)=\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{81}{4}+\frac{45}{2}\right)=\frac{1539}{8}.$

Vậy $N=\frac{1539}{8}.$

c) Ta có: P = (x₁ – 5)(x₂ – 5) = x₁x₂ – 5(x₁ + x₂) + 25

 $=\frac{-15}{2}-5\cdot \frac{9}{2}+25=-5.$

Vậy P = –5.

Bài 5.Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $-\frac{5}{4}{x}^2+\frac{11}{8}x-\frac{1}{8}=0;$

b) $4x^2+\left(4+3\sqrt{5}\right)x+3\sqrt{5}=0;$

c) $x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x-4=0,$ biết phương trình có hai nghiệm trong đó có một nghiệm $x_1=-\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a+b+c=-\frac{5}{4}+\frac{11}{8}-\frac{1}{8}=0$ nên phương trình có hai nghiệm:

x₁ = 1, $x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{8}:\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{10}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x₁ = 1, $x_2=\frac{1}{10}.$

b) Ta có: $a-b+c=4-\left(4+3\sqrt{5}\right)+3\sqrt{5}=0$ nên phương trình có hai nghiệm:

x₁ = –1, $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{3\sqrt{5}}{4}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x₁ = –1, $x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{4}.$

c) Gọi x₂ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4.$

Suy ra $x_2=\frac{-4}{x_1}=-4:\left(-\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=-\frac{4\sqrt{3}}{3};x_2=\sqrt{3}.$

Bài 6. Người ta muốn thiết kế một cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 0,72 m² và chu vi bằng 3,6 m. Tính chiều dài và chiều rộng của cửa sổ.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi của cửa sổ đó là: 3,6 : 2 = 1,8 (m).

Các kích thước của cửa sổ đó là nghiệm của phương trình: x² – 1,8x + 0,72 = 0.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (–1,8)² – 4.1.0,72 = 0,36 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{0,36}=0,6.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1,8+0,6}{2\cdot 1}=1,2;$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1,8-0,6}{2\cdot 1}=0,6.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của cửa sổ đó là 1,2 m và 0,6 m (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).