Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên Toán lớp 9 (Kết nối tri thức)

Với lý thuyết Toán lớp 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 9.

1 1,465 15/07/2026

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài của cung tròn

Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Công thức tính độ dài C của đường tròn (O; R), đường kính d = 2R là:

$C = π d = 2 π R$

Công thức tính độ dài cung tròn

Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 1)

Công thức tính độ dài l của cung tròn $n^{o}$ trên đường tròn (O;R) là:

$l = \frac{n}{180} π R$

Tỉ số giữa độ dài cung $n^{o}$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$ .

$\frac{l}{C} = \frac{\frac{n}{180} π R}{2 π R} = \frac{n}{360}$

Ví dụ:

Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 2)

Đường tròn (O; 2cm), $\hat{A O B} = 60^{0}$ .

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ $\overset{⌢}{A B} = \hat{A O B} = 60^{0}$

Độ dài $l_{1}$ của cung AB là:

$l_{1} = \frac{n}{180} π R = \frac{60}{180} π .2 = \frac{2 π}{3} \approx 2, 1 (c m)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ $\overset{⌢}{A m N} = 360^{o} - 60^{0} = 300^{0}$ .

Độ dài $l_{2}$ của cung AnB là:

$l_{2} = \frac{300}{180} π .2 = \frac{10}{3} π \approx 10, 5 (c m)$

2. Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khái niệm hình quạt tròn

Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 3)

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

Khái niệm hình vành khuyên

Lý thuyết Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 4)

Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn có cùng tâm và bán kính khác nhau (còn gọi là hai đường tròn đồng tâm)

Diện tích hình quạt tròn

Diện tích $S_{q}$ của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung $n^{o}$ :

$S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2} = \frac{l . R}{2}$

Diện tích hình vành khuyên

Diện tích $S_{v}$ của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm và có bán kính R và r:

$S_{v} = π (R^{2} - r^{2})$ (với R > r)

Tỉ số giữa diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^{0}$ và diện tích hình tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$ và bằng tỉ số giữa độ dài cung $n^{0}$ và độ dài đường tròn.

Ví dụ:

1. Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l = 4 π$ cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_{q} = \frac{l . R}{2} = \frac{4 π .5}{2} = 10 π (c m^{2})$

2. Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_{v} = π (5^{2} - 3^{2}) = 16 π (m^{2})$

B. Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Đang cập nhật ...

C. Sơ đồ tư duy Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Trắc nghiệm: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

I. Nhận biết

Câu 1. Chu vi đường tròn có bán kính $R = 9$ là

A. $9 π .$

B. $18 π .$

C. $27 π .$

D. $12 π .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Chu vi đường tròn có bán kính $R = 9$ là: $C = 2 π R = 2 π \cdot 9 = 18 π .$

Vậy chu vi đường tròn có bán kính $R = 9$ là $18 π .$

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 2. Công thức tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R và r (với $R > r)$ là

A. $S_{v} = π R^{2} - r^{2} .$

B. $S_{v} = π {(R - r)}^{2} .$

C. $S_{v} = π (R^{2} - r^{2}) .$

D. $S_{v} = π (r^{2} - R^{2}) .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Công thức tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R và r (với $R > r)$ là: $S_{v} = π (R^{2} - r^{2}) .$

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Tỉ số giữa độ dài cung $n °$ và chu vi đường tròn (cùng bán kính) luôn bằng

A. $\frac{1}{n} .$

B. $\frac{1}{2} .$

C. $\frac{n}{180} .$

D. $\frac{n}{360} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Tỉ số giữa độ dài cung $n °$ và chu vi đường tròn (cùng bán kính) luôn bằng $\frac{n}{360} .$

Nghĩa là, $\frac{l}{C} = \frac{n}{360} .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung tròn đó được gọi là

A. Hình quạt tròn.

B. Hình vành khuyên.

C. Hình vành khăn.

D. Hình viên phân.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung tròn đó.

10 Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 5. Độ dài cung $30 °$ của một đường tròn có bán kính 4 dm là

A. $\frac{4 π}{3} dm .$

B. $\frac{2 π}{3} dm .$

C. $\frac{π}{3} dm .$

D. $\frac{π}{6} dm .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Độ dài cung tròn cần tìm là: $l = \frac{n}{180} π R = \frac{30}{180} π \cdot 4 = \frac{2 π}{3} (dm).$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm bằng $\frac{2 π}{3} dm .$

Do đó ta chọn phương án B.

II. Thông hiểu

Câu 6. Số đo $n °$ của cung tròn có độ dài 30,8 cm trên đường tròn có bán kính 22 cm (lấy $π \approx 3, 14$ và làm tròn đến độ)là

A. $85 ° .$

B. $65 ° .$

C. $70 ° .$

D. $80 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có $l = \frac{n}{180} π R .$

Suy ra $n = \frac{l}{π R} \cdot 180 \approx \frac{30, 8}{3, 14 \cdot 22} \cdot 180 \approx 80 ° .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh $A B = 5 cm, \hat{B} = 60 ° .$ Đường tròn tâm I đường kính AB cắt BC ở D. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Độ dài cung nhỏ BD của đường tròn $(I)$ là $\frac{π}{6} cm .$

B. $A D ⊥ B C .$

C. D thuộc đường tròn đường kính AC.

D. Số đo của cung nhỏ BD là $60 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

10 Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Vì $I B = I D$ (cùng bằng bán kính của đường tròn $(I)$ đường kính AB ) nên tam giác IBD cân tại I.

Mà $\hat{I B D} = 60 °,$ do đó tam giác IBD đều.

Suy ra $\hat{B I D} = 60 °,$ nên $sđ \overset{⏜}{B D} = \hat{B I D} = 60 ° .$

Bán kính đường tròn $(I)$ là: $R = \frac{A B}{2} = \frac{5}{2} (cm).$

Độ dài cung nhỏ BD của đường tròn $(I)$ là: $l = \frac{n}{180} π R = \frac{60}{180} π \cdot \frac{5}{2} = \frac{5 π}{6} (cm).$

Vì vậy phương án A sai, phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8. Cho đường tròn $(O; 10 cm)$ đường kính AB. Điểm $M \in (O)$ sao cho $\hat{B A M} = 45 ° .$ Diện tích hình quạt $A O M$ bằng

A. $25 π {cm}^{2} .$

B. $\frac{25}{2} π {cm}^{2} .$

C. $5 π {cm}^{2} .$

D. $50 π {cm}^{2} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

10 Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Vì $O A = O M = 10 (cm)$ nên tam giác $O A M$ cân tại O.

Mà $\hat{B A M} = 45 °$ , suy ra tam giác $O A M$ vuông cân tại O.

Do đó số đo cung nhỏ AM là: $sđ \overset{⏜}{A M} = \hat{A O M} = 90 ° .$

Diện tích hình quạt $A O M$ là: $S = \frac{n}{360} π R^{2} = \frac{90}{360} π \cdot 10^{2} = 25 π {(cm}^{2}) .$

Vậy diện tích hình quạt $A O M$ bằng $25 π {cm}^{2} .$

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 9. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 2 \sqrt{2} cm .$ Điểm $C \in (O)$ sao cho $\hat{A B C} = 30 ° .$ Diện tích hình quạt $B A C$ bằng

A. $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π {cm}^{2} .$

B. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π {cm}^{2} .$

C. $\frac{4}{3} π {cm}^{2} .$

D. $\frac{8}{3} π {cm}^{2} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

10 Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Ta có $O B = O C$ nên tam giác OBC cân tại O. Suy ra $\hat{O C B} = \hat{O B C} = 30 ° .$

Tam giác OBC có: $\hat{B O C} + \hat{O C B} + \hat{O B C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{B O C} = 180 ° - (\hat{O C B} + \hat{O B C}) = 180 ° - (30 ° + 30 °) = 120 ° .$

Do đó $sđ \overset{⏜}{B A C} = 360 ° - sđ \overset{⏜}{B C} = 360 ° - \hat{B O C} = 360 ° - 120 ° = 240 ° .$

Bán kính đường tròn $(O)$ là: $R = \frac{A B}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} (cm).$

Diện tích hình quạt BAC là: $S_{q} = \frac{n}{360} \cdot π R^{2} = \frac{240}{360} \cdot π \cdot {(\sqrt{2})}^{2} = \frac{4 π}{3} {(cm}^{2}) .$

Vậy diện tích hình quạt BAC bằng $\frac{4}{3} π {cm}^{2} .$

Do đó ta chọn phương án C.

III. Vận dụng

Câu 10. Cho sân cỏ như hình vẽ, biết rằng $O B = 10 m, \hat{A O B} = 80 ° .$

10 Bài tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (có đáp án) | Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Độ dài đoạn hàng rào quanh sân từ đến của sân cỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)là

A. $488, 69 m.$

B. 69,81 m

C. 13,96 m

D. 6,98 m

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Độ dài đoạn hàng rào từ A đến B của sân cỏ là:

$l = \frac{n}{180} π R = \frac{80}{180} π \cdot 10 = \frac{40 π}{9} \approx 13, 96 (m).$

Do đó độ dài đoạn hàng rào từ đến của sân cỏ bằng khoảng

Vậy ta chọn phương án C.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Lý thuyết Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Lý thuyết Bài 18: Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

Lý thuyết Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Xem thêm tài liệu Toán lớp 9:

Giải Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Giải SBT Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9

Giáo án Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Giáo án điện tử Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9

1 1,465 15/07/2026

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3