Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: a) A=(x^2+y^2/x^2-y^2 -1).(x-y/xy)/2y

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 2

Bài 23 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a)     $A=\left(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-1\right).\frac{x-y}{2y}$ tại $x=5;y=7$

b)    $B=\frac{2x+y}{2x^2-xy}+\frac{8y}{y^2-4x^2}+\frac{2x-y}{2x^2+xy}$ tại $x=-\frac{1}{2};y=\frac{3}{2}$

c)     $C=\left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)\left(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{y}$ tại $x=-15;y=5$

Lời giải:

a)     Rút gọn biểu thức:

$$\begin{gathered} A=\left(\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}-1\right).\frac{x-y}{2y} \\ =\left(\frac{x^2+y^2-x^2+y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\right).\frac{x-y}{2y} \\ =\frac{2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}.\frac{x-y}{2y}=\frac{y}{x+y} \end{gathered}$$

Giá trị của biểu thức $A$ tại $x=5;y=7$ là: $\frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}$.

b)    Rút gọn biểu thức:

$\begin{array}{l}B=\frac{2x+y}{2x^2-xy}+\frac{8y}{y^2-4x^2}+\frac{2x-y}{2x^2+xy}\\ =\frac{2x+y}{x\left(2x-y\right)}-\frac{8y}{{\left(2x\right)}^2-y^2}+\frac{2x-y}{x\left(2x+y\right)}\\ =\frac{\left(2x+y\right)\left(2x+y\right)}{x\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}-\frac{8xy}{x\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}+\frac{\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}\\ =\frac{{\left(2x+y\right)}^2-8xy+{\left(2x-y\right)}^2}{x\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}\\ =\frac{4x^2+4xy+y^2-8xy+4x^2-4xy+y^2}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}\\ =\frac{8x^2-8xy+2y^2}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}=\frac{2{\left(2x-y\right)}^2}{x\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}=\frac{2\left(2x-y\right)}{x\left(2x+y\right)}\end{array}$

Giá trị của biểu thức$B$ tại $x=-\frac{1}{2};y=\frac{3}{2}$ là: $\frac{2\left(2.-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)}{-\frac{1}{2}\left(2.\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}\right)}=20$

c)     Rút gọn biểu thức:

$\begin{array}{l}C=\left(\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}\right)\left(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{y}\\ =\left(\frac{x^3-y^3}{xy}\right)\left(\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)+x^2+xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}\right)-\frac{x}{y}\\ =\left(\frac{x^3-y^3}{xy}\right)\left(\frac{x^2-y^2+x^2+xy+y^2}{x^3-y^3}\right)-\frac{x}{y}\\ =\frac{x^3-y^3}{xy}.\frac{2x^2+xy}{x^3-y^3}-\frac{x}{y}\\ =\frac{\left(x^3-y^3\right).x.\left(2x+y\right)}{xy.\left(x^3-y^3\right)}-\frac{x}{y}\\ =\frac{2x+y}{y}-\frac{x}{y}=\frac{x+y}{y}\end{array}$

Giá trị của biểu thức $C$ tại $x=-15;y=5$ là: $\frac{-15+5}{5}=2$