Giải Toán 8 trang 86 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 trang 86 Tập 2

Bài 13 trang 86 Toán 8 Tập 2: Người ta đo khoảng cách giữa hai điểm D và K ở hai bờ một dòng sông (Hình 5). Cho biết KE = 90 m, KF = 160 m. Tính khoảng cách DK.

Lời giải:

Ta có $\widehat{\mathrm{EDK}}+\widehat{\mathrm{KDF}}=90°, \widehat{\mathrm{DFK}}+\widehat{\mathrm{KDF}}=90°$

Suy ra $\widehat{\mathrm{EDK}}=\widehat{\mathrm{DFK}}$.

Xét hai tam giác vuông DKE và FKD có:

$\widehat{\mathrm{EDK}}=\widehat{\mathrm{DFK}}$

Suy ra ΔDKE ᔕ ΔFKD (g.g)

Nên $\frac{\mathrm{KE}}{\mathrm{DK}}=\frac{\mathrm{DK}}{\mathrm{KF}}$ hay DK² = KE.KF

Do đó DK² = 90.160 =14 400 suy ra DK = 120 m.

Vậy khoảng cách DK bằng 120 m.

Bài 14 trang 86 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng

a) ΔAEB ᔕ ΔAFC.

b) $\frac{\mathrm{HE}}{\mathrm{HC}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HB}}$.

c) ΔHEF ᔕ ΔHCB.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông AEB và AFC có:

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

Suy ra ΔAEB ᔕ ΔAFC (g.g)

b) Xét tam giác vuông HCE và HBF ta có:

$\widehat{\mathrm{EHC}}=\widehat{\mathrm{FHB}}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ΔHCE ᔕ ΔHBF (g.g)

Nên $\frac{\mathrm{HE}}{\mathrm{HF}}=\frac{\mathrm{HC}}{\mathrm{HB}}$ hay $\frac{\mathrm{HE}}{\mathrm{HC}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HB}}$

c) Xét tam giác HEF và HCB ta có:

$\frac{\mathrm{HE}}{\mathrm{HC}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HB}}$ (cmt)

$\widehat{\mathrm{EHF}}=\widehat{\mathrm{BHC}}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ΔHEF ᔕ ΔHCB (c.g.c).

Bài 15 trang 86 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ΔAMN ᔕ ΔABC.

b) Phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ cắt MN và BC lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IN}}=\frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{KC}}$.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABM và ACN có:

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

Suy ra ΔABM ᔕ ΔACN (g.g)

Nên $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$

Xét tam giác AMN và ABC ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

Suy ra ΔAMN ᔕ ΔABC (c.g.c).

b) ΔAMN ᔕ ΔABC, AK là phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$

Suy ra $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$

Xét tam giác AIM và AKB ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$

$\widehat{\mathrm{IAM}}=\widehat{\mathrm{IAN}}$ (vì AK là phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$ )

Suy ra ΔAIM ᔕ ΔAKB nên $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{KB}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$ (1)

Xét tam giác AIN và AKC ta có:

$\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$

$\widehat{\mathrm{IAM}}=\widehat{\mathrm{IAN}}$ (vì AK là phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$ )

Suy ra ΔAIN ᔕ ΔAKC nên $\frac{\mathrm{IN}}{\mathrm{KC}}=\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AK}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{KB}}=\frac{\mathrm{IN}}{\mathrm{KC}}$ hay $\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{IN}}=\frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{KC}}$.

Bài 16 trang 86 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

a) Chứng minh rằng ΔABH ᔕ ΔCBA, suy ra AB² = BH.BC.

b) Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.

c) Chứng minh rằng ΔAFE ᔕ ΔABC.

d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ IN vuông góc BC tại N. Chứng minh rằng ΔHNF ᔕ ΔHIC.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABH và CBA ta có:

$\hat{\mathrm{B}}$ chung

Suy ra ΔABH ᔕ ΔCBA nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}$ hay AB² = BH.BC

b) c) Tứ giác AEHF có 4 góc vuông suy ra AEHF là hình chữ nhật

Do đó $\widehat{\mathrm{AEF}}=\widehat{\mathrm{AEH}}$

ΔABH ᔕ ΔCBA nên $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{AEH}}$

Xét tam giác AEF và ACB ta có:

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

$\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{AEH}}$

Suy ra ΔAEF ᔕ ΔACB (g.g) nên $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}$ hay AE.AB = AF.AC

d) Xét tam giác vuông HNI và HFC ta có:

$\hat{\mathrm{H}}$ chung

Suy ra ΔHNI ᔕ ΔHFC (g.g)

Nên $\frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{HF}}=\frac{\mathrm{HI}}{\mathrm{HC}}$ hay $\frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{HI}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HC}}$

Xét tam giác HNF và HIC ta có:

$\hat{\mathrm{H}}$ chung

$\frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{HI}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HC}}$

Suy ra ΔHNF ᔕ ΔHIC (c.g.c).

Bài 17 trang 86 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 6. Vẽ vào tờ giấy tam giác DEF với EF = 4 cm, $\hat{\mathrm{E}}=36°, \hat{\mathrm{F}}=76°$ .

a) Chứng minh ΔDEF ᔕ ΔAMC.

b) Dùng thước đo chiều dài cạnh DF của ΔDEF. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C ở hai bờ sông trong Hình 6.

Lời giải:

a) Xét tam giác DEF và AMC có:

$\hat{\mathrm{E}}=\hat{\mathrm{M}}={36}^{\mathrm{o}}$

$\hat{\mathrm{F}}=\hat{\mathrm{C}}={76}^{\mathrm{o}}$

Suy ra ΔDEF ᔕ ΔAMC (g.g)

b) Đổi 25 m = 2500 cm.

Dùng thước đo độ dài cạnh DF ta được độ dài DF là 3,9 cm.

Vì ΔDEF ᔕ ΔAMC nên $\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{MC}}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{AC}}$ (hai cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Thay số, $\mathrm{AC}=\frac{\mathrm{MC}.\mathrm{DF}}{\mathrm{EF}}=\frac{25.3,9}{0,05}=1625\left(\mathrm{m}\right)$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và C là 1625 cm hay 16,25 m.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 8 trang 84 Tập 2

Giải Toán 8 trang 85 Tập 2

Giải Toán 8 trang 86 Tập 2