Toán 8 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 trang 31 Tập 2

Khởi động trang 31 Toán 8 Tập 2: Quan sát hình bên. Biết rằng cân thăng bằng, có thể tìm được khối lượng quả cân không? Tìm bằng cách nào?

Lời giải:

Khi cân thăng bằng, ta có thể tìm được khối lượng quả cân bằng cách cho tổng khối lượng các quả cân ở hai bên bằng nhau, sau đó tìm giá trị của x.

1. Phương trình một ẩn

Khám phá 1 trang 31 Toán 8 Tập 2: a) Ở Hoạt động khởi động trên, viết các biểu thức biểu thị tổng khối lượng của các vật trên mỗi đĩa cân. Từ điều kiện cân thăng bằng, hai biểu thức có mối quan hệ như thế nào?

b) Nếu x = 200 thì cân có thăng bằng không? Tại sao?

Nếu x = 100 thì cân có thăng bằng không? Tại sao?

Lời giải:

a) Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên trái: 4x (g)

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên phải: 600 + x (g)

Với điều kiện cân thăng bằng thì mối quan hệ của hai biểu thức là 4x = 600 + x

b) • Nếu x = 200:

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên trái: 4 . 200 = 800 (g)

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên phải: 600 + 200 = 800 (g)

Tổng khối lượng của các vật trên hai đĩa cân bằng nhau nên cân thăng bằng.

• Nếu x = 100:

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên trái: 4 . 100 = 400 (g)

Tổng khối lượng của các vật trên đĩa cân bên phải: 600 + 100 = 700 (g)

Vì 700 > 400 nên tổng khối lượng của các vật trên hai đĩa cân không bằng nhau. Do đó cân không thăng bằng.

Vậy nếu x = 200 thì cân thăng bằng, nếu x = 100 thì cân không thăng bằng.

Giải Toán 8 trang 32 Tập 2

Thực hành 1 trang 32 Toán 8 Tập 2: Cho phương trình 4t – 3 = 12 – t. Trong hai số 3 và 5, có số nào là nghiệm của phương trình đã cho không?

Lời giải:

• Khi t = 3, ta có 4.3 – 3 = 12 – 3 = 9.

Do đó t = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.

• Khi t = 5, ta có 4.5 − 3 = 17 ≠ 12 − 5 = 7.

Do đó t = 5 không là nghiệm của phương trình đã cho.

Vận dụng 1 trang 32 Toán 8 Tập 2: Đặt lên hai đĩa những quả cân như Hình 1.

a) Biết rằng cân thăng bằng, hãy viết phương trình biểu thị sự thăng bằng này.

b) Nếu x = 100 thì cân có thăng bằng không? Vì sao?

Nếu x = 150 thì cân có thăng bằng không? Vì sao?

Từ đó, chỉ ra một nghiệm của phương trình ở câu a.

Lời giải:

a) Do cân thăng bằng nên tổng khối lượng các vật trên hai đĩa cân bằng nhau.

Khi đó ta viết phương trình biểu thị sự thăng bằng này như sau:

3x + 100 = 400 + x.

b) Nếu x = 100, ta có 3x + 100 = 400 ≠ 400 + x = 500 nên cân không thăng bằng.

Nếu x = 150, ta có 3.150 + 100 = 400 + 150 (= 550) nên cân thăng bằng.

Vậy x = 150 là nghiệm của phương trình trên.

2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Khám phá 2 trang 32 Toán 8 Tập 2: Xét cân thăng bằng ở Hoạt động khởi động.

a) Giải thích tại sao nếu ra khỏi đĩa cân một quả cân thì cân vẫn thăng bằng.

b) Nếu thay quả cân bằng ba quả cân (Hình 2) thì cân còn cân bằng không? Tại sao?

c) Tiếp theo, chia các quả cân trên mỗi đĩa cân thành ba phần bằng nhau, rồi bỏ đi hai phần (Hình 3). Khi đó, cân còn cân bằng không? Tại sao?

Lời giải:

Từ Hoạt động khởi động ta có phương trình: 4x = 600 + x.

a) Bỏ ra khỏi mỗi đĩa một quả cân xg, phương trình được biến đổi như sau:

4x − x = 600 + x − x hay 3x = 600.

Vì ở cả hai vế đều bị bớt đi một lượng giống nhau nên giá trị ở cả hai đĩa cân vẫn bằng nhau và cân vẫn thăng bằng.

b) Vì quả cân 600 g gấp 3 lần quả cân 200 g nên nếu thay quả cân 600 g bằng ba quả cân 200 g thì cân vẫn cân bằng.

c) Từ hoạt động khám phá 1 ta được x = 200 là nghiệm của phương trình.

Khi chia các quả cân trên mỗi đĩa cân thành ba phần bằng nhau, rồi bỏ đi hai phần ta được khối lượng các vật còn lại trên hai đĩa là:

• Đĩa bên trái: 3x : 3 = x

• Đĩa bên phải: 600 : 3 = 200

Mà x = 200 nên cân vẫn thăng bằng.

Giải Toán 8 trang 34 Tập 2

Thực hành 2 trang 34 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{3}x+1\frac{1}{2}=0$ ;

b) $2\frac{1}{2}-0,75x=0$ .

Lời giải:

a) $\frac{2}{3}x+1\frac{1}{2}=0$

$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}$

$x=-\frac{3}{2}:\frac{2}{3}$

$x=-\frac{9}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=-\frac{9}{4}$ .

b) $2\frac{1}{2}-0,75x=0$

$-0,75x=-\frac{5}{2}$

$x=\left(-\frac{5}{2}\right):\left(-0,75\right)$

$x=\frac{10}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{10}{3}$ .

Thực hành 3 trang 34 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 15 – 4x = x – 5;

b) $\frac{5x+2}{4}+\frac{3x-2}{3}=\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

a) 15 – 4x = x – 5

−4x – x = −5 – 15

−5x = −20

x = 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

b) $\frac{5x+2}{4}+\frac{3x-2}{3}=\frac{3}{2}$

$\frac{3\left(5x+2\right)}{12}+\frac{4\left(3x-2\right)}{12}=\frac{18}{12}$

15x + 5 + 12x – 8 = 18

27x = 20

$x=\frac{20}{17}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{20}{17}$ .

Giải Toán 8 trang 35 Tập

Vận dụng 2 trang 35 Toán 8 Tập 2: Hai bạn An và Mai giải phương trình x = 2x như sau:

An: x = 2x

1 = 2 (chia hai vế cho x)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Mai: x = 2x

x – 2x = 0 (chuyển 2x sang vế trái)

−x = 0 (rút gọn)

x = 0 (nhân hai vế với −1)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Em hãy cho biết bạn nào giải đúng.

Lời giải:

Bạn Mai giải đúng.

Vì chỉ có thể chia hai vế cho x khi biết trước x ≠ 0.

Bài tập

Bài 1 trang 35 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 4, cho biết các viên bi có cùng khối lượng là x (g) và cân thăng bằng.

Viết phương trình biểu diễn liên hệ giữa khối lượng các vật ở trên hai đĩa cân.

Lời giải:

Các viên bi có cùng khối lượng là x (g). Khi đó:

• Khối lượng các vật ở đĩa cân bên trái là: 450 + 5x (g)

• Khối lượng của vật ở đĩa cân bên phải là: 700 (g)

Vì cân thăng bằng nên ta có phương trình:

450 + 5x = 700.

Vậy phương trình biểu diễn liên hệ giữa khối lượng các vật ở trên hai đĩa cân là 450 + 5x = 700.

Giải Toán 8 trang 36 Tập 2

Bài 2 trang 36 Toán 8 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? Xác định các hệ số a, b của phương trình bậc nhất một ẩn đó:

a) $7x+\frac{4}{7}=0$ ;

b) $\frac{3}{2}y-5=4$ ;

c) 0t + 6 = 0;

d) x² + 3 = 0.

Lời giải:

a) $7x+\frac{4}{7}=0$ là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 7 và $b=\frac{4}{7}$.

b) $\frac{3}{2}y-5=4$ là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 32 và b = −9

c) 0t + 6 = 0 không là phương trình bậc nhất một ẩn.

d) x² + 3 = 0 không là phương trình bậc nhất một ẩn.

Bài 3 trang 36 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 5x – 30 = 0;

b) 4 – 3x = 11;

c) 3x + x + 20 = 0;

d) $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=x+2$ .

Lời giải:

a) 5x – 30 = 0

5x = 30

x = 30 : 5

x = 6

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.

b) 4 – 3x = 11

–3x = 11 – 4

–3x = 9

x = 9 : (–3)

x = –3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = −3.

c) 3x + x + 20 = 0

4x = –20

x = –20 : 4

x = –5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = −5.

d) $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=x+2$

$\frac{1}{3}x-x=2-\frac{1}{2}$

$-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$

$x=\frac{3}{2}:\left(-\frac{2}{3}\right)$

$x=-\frac{9}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=-\frac{9}{4}$ .

Bài 4 trang 36 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 8 – (x – 15) = 2(3 – 2x);

b) –6(1,5 – 2u) = 3(–15 + 2u);

c) (x + 3)² − x(x + 4) = 13;

d) (y + 5)(y − 5) − (y − 2)² = −5.

Lời giải:

a) 8 − (x − 15) = 2(3 − 2x)

8 − x + 15 = 6 − 4x

−x + 4x = 6 − 15 − 8

3x = −17

$x=-\frac{17}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{17}{3}$ .

b) −6(1,5 − 2u) = 3(−15 + 2u)

−9 + 12u = −45 + 6u

12u − 6u = −45 + 9

6u = −36

u = −6

c) (x + 3)² − x(x + 4) = 13

x² + 6x + 9 − x² − 4x = 13

6x − 4x = 13 − 9

2x = 4

x = 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

d) (y + 5)(y − 5) − (y − 2)² = −5

y² – 25 − y² + 4y – 4 = −5

4y = −5 + 4 + 25

4y = 24

y = 6

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là y = 6.

Bài 5 trang 36 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) $\frac{5x-3}{4}=\frac{x+2}{3}$

$\frac{3\left(5x-3\right)}{4}=\frac{4\left(x+2\right)}{12}$

15x − 9 = 4x + 8

15x − 4x = 8 + 9

11x = 17

$x=\frac{17}{11}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{17}{11}$ .

b)$\frac{9x+5}{6}=1-\frac{6+3x}{8}$

$\frac{4\left(9x+5\right)}{24}=\frac{24-3\left(6+3x\right)}{24}$

36x + 20 = 24 − 18 − 9x

36x + 9x = 24 − 18 − 20

45x = −22

$x=-\frac{22}{45}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x=-\frac{22}{45}$ .

c) $\frac{2\left(x+1\right)}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1+3x}{4}$

$\frac{8\left(x+1\right)-6}{12}=\frac{3\left(1+3x\right)}{12}$

8x + 8 − 6 = 3 + 9x

8x − 9x = 3 + 6 − 8

−x = 1

x = −1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −1.

d) $\frac{x+3}{5}-\frac{2}{3}x=\frac{3}{10}$

$\frac{3\left(x+3\right)}{15}-\frac{10x}{15}=\frac{3}{10}$

$3x+9-10=\frac{9}{2}$

$-7x=-\frac{9}{2}$

$x=\frac{9}{14}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{9}{14}$ .

Bài 6 trang 36 Toán 8 Tập 2: Tìm x, biết rằng nếu lấy x trừ đi $\frac{1}{2}$ , rồi nhân kết quả với $\frac{1}{2}$ thì được $\frac{1}{8}$

Lời giải:

Theo bài cho ta có phương trình:

$\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}$

$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$

$x=\frac{3}{4}$

Vậy $x=\frac{3}{4}$ .

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình một ẩn

Một phương trình với ẩn x có dạng , trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức có cùng một biến x.

Ví dụ: là các phương trình ẩn x.

Giá trị của biến làm cho hai vế của phương trình có giá trị bằng nhau gọi là nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ: là nghiệm của phương trình vì thay vào phương trình, ta được 2.2 = 2 + 2

2. Phương trình bậc nhất một ẩn

Khái niệm:

Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Việc tìm các nghiệm của một phương trình gọi là giải phương trình đó.

Cách giải:

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 () được giải như sau:

(chuyển b từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành –b)

(chia hai vế cho a)

Vậy phương trình có nghiệm .

Ví dụ: Giải phương trình:

Ta có:

Vậy nghiệm của phương trình là .

Chú ý: Quá trình giải phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó, phương trình có thể không có nghiệm (vô nghiệm) hoặc nghiệm đúng với mọi x.

Sơ đồ tư duy Phương trình bậc nhất một ẩn

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 4: Hệ số góc của đường thẳng

Bài tập cuối chương 5

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất

Bài tập cuối chương 6 trang 41