Toán 8 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tính chất đường phân giác của tam giác

Với giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 8 Bài 3.

1 1,092 21/09/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải Toán 8 trang 55 Tập 2

Khởi động trang 55 Toán 8 Tập 2: Đường phân giác AD của tam giác ABC chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn tỉ lệ với hai đoạn thẳng nào trong hình?

Lời giải:

Dựa vào độ dài các cạnh ở trên hình vẽ, ta có:

$\frac{A B}{A C} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}; \frac{B D}{C D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Do đó, đường phân giác AD của tam giác ABC chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn BD. CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB, AC trong hình.

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Khám phá trang 55 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt đường thẳng AC tại E (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

a) Tam giác BAE cân tại A.

b) $\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A C}$ .

Lời giải:

a) Ta có: BE // AD suy ra $\hat{A E B} = \hat{C A D}$ (hai góc đồng vị), $\hat{A B E} = \hat{B A D}$ (hai góc so le trong)

AD là tia phân giác góc $\hat{B A C}$ nên $\hat{B A D} = \hat{C A D}$

Do đó: $\hat{A E B} = \hat{A B E}$ suy ra tam giác BAE cân tại A

b) Xét tam giác BCE có AD // BE, theo định lí Thalès, ta có:

$\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C}$

Mà AE = AB (do tam giác ABE cân tại A)

Do đó: $\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A C}$

2. Áp dụng tính chia tỉ lệ của đường phân giác của tam giác

Giải Toán 8 trang 56 Tập 2

Thực hành trang 56 Toán 8 Tập 2: Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6.

Lời giải:

Trong tam giác MPQ, ta có MN là đường phân giác góc M nên ta có

$\frac{N P}{N Q} = \frac{M P}{M Q}$ hay $\frac{4}{5} = \frac{7}{M Q}$

Do đó $MQ = \frac{7.5}{4} = 8, 75$

Bài tập

Bài 1 trang 56 Toán 8 Tập 2: Tính độ dài x trong Hình 7.

Lời giải:

a) Trong tam giác ABC, ta có AD là đường phân giác góc A nên ta có

$\frac{D C}{D B} = \frac{A C}{A B}$ hay $\frac{x}{2, 4} = \frac{5}{3}$

Suy ra $x = \frac{5.2, 4}{3} = 4$

b) Trong tam giác EFG, ta có EH là đường phân giác góc E nên ta có

$\frac{H G}{H F} = \frac{E G}{E F}$ hay $\frac{x}{20 - x} = \frac{18}{12}$

Suy ra $12 x = 18 (20 - x) \Rightarrow x = \frac{18.20}{30} = 12$

c) Trong tam giác PQR, ta có RS là đường phân giác góc R nên ta có

$\frac{S P}{S Q} = \frac{P R}{Q R}$ hay $\frac{5}{6} = \frac{10}{x}$ .

Suy ra $x = \frac{6.10}{5} = 12$

Giải Toán 8 trang 57 Tập 2

Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích giữa ΔADB và ΔADC.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên $\frac{D B}{A B} = \frac{D C}{A C}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\frac{D B}{A B} = \frac{D C}{A C} = \frac{D B + D C}{A B + A C} = \frac{B C}{A B + A C}$

Nên $\frac{D B}{8} = \frac{D C}{6} = \frac{10}{8 + 6}$

Vậy $DB = \frac{40}{7} cm, BC = \frac{30}{7} cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\frac{S_{A B D}}{S_{A C D}} = \frac{\frac{1}{2} A H . D B}{\frac{1}{2} A H . D C} = \frac{D B}{D C} = \frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}} = \frac{4}{3}$ .

Bài 3 trang 57 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Lời giải:

Bài 3 trang 57 Toán 8 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Suy ra: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 cm; AC = 20 cm.

Nên $\frac{D B}{D c} = \frac{15}{20}$

Suy ra: $\frac{D B}{D B + D C} = \frac{15}{15 + 20}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: $\frac{D B}{B C} = \frac{15}{35}$

Nên: $DB = \frac{15}{35} . 25 = \frac{75}{7} (cm)$

Do đó $D C = B C - B D = 25 - \frac{75}{7} = \frac{100}{7} (cm)$

Xét tam giác ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{D E}{A B} = \frac{C D}{B C} \Rightarrow \frac{D E}{15} = \frac{\frac{100}{7}}{25}$

Vậy $DE = \frac{60}{7} cm$ .

b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm.

Nên ${BC}^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó, ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A C . A B = \frac{1}{2} . 20.15 = 150 (c m^{2})$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\frac{S_{A D B}}{S_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} A H . B D}{\frac{1}{2} A H . B C} = \frac{D B}{D C} = \frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}} = \frac{4}{3}$

Suy ra $S_{A D B} = \frac{3}{7} \cdot S_{A B C} = \frac{3}{7} \cdot 150 = \frac{450}{7} (c m^{2})$

$\frac{S_{D C E}}{S_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} C E . D E}{\frac{1}{2} A C . A B} = {(\frac{D E}{A B})}^{2} = {(\frac{\frac{60}{7}}{25})}^{2} = \frac{144}{1225}$

Suy ra

$S_{D C E} = \frac{144}{1225} \cdot S_{A B C} = \frac{144}{1225} \cdot 150 = \frac{864}{49} (c m^{2})$

$S_{A D E} = S_{A B C} - S_{A D B} - S_{D C E} = 150 - \frac{450}{7} - \frac{864}{49} = \frac{3336}{49} (c m^{2})$

Vậy $S_{A D B} = \frac{450}{7} c m^{2}; S_{D C E} = \frac{864}{49} c m^{2}; S_{A D E} = \frac{3336}{49} c m^{2}$

Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

Lời giải:

Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2}$ suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ suy ra $\frac{D B}{5 - D B} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow 4 D B = 15 - 3 D B \Rightarrow D B = \frac{15}{7} (c m) .$

Do đó $D C = B C - D B = 5 - \frac{15}{7} = \frac{20}{7} (c m) .$

Vậy BC = 5 cm, $D B = \frac{15}{7} cm$ , $D C = \frac{20}{7} cm$

b) Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} A H . B C$

$\Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{3.4}{5} = \frac{12}{5} (cm)$

Tam giác ABH vuông tại H nên

$H B = \sqrt{A B^{2} - A H^{2}} = \sqrt{3^{2} - {(\frac{12}{5})}^{2}} = \frac{9}{5} (cm)$

Ta có: $H D = D B - H B = \frac{15}{7} - \frac{9}{5} = \frac{12}{35}$ (cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên

$A D = \sqrt{H D^{2} + A H^{2}} = \sqrt{{(\frac{12}{35})}^{2} + {(\frac{12}{5})}^{2}} = \frac{12 \sqrt{2}}{7} (c m)$

Vậy $A H = \frac{12}{5} cm$ , $HD = \frac{12}{35} cm$ , $A D = \frac{12 \sqrt{2}}{7} cm$ .

Bài 5 trang 57 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC.

Lời giải:

• Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác $\hat{A M B}$ suy ra $\frac{D A}{D B} = \frac{M A}{M B}$ .

• Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác $\hat{A M C}$ suy ra $\frac{E A}{EB} = \frac{M A}{M C}$ .

Mà MB = MC, do đó: $\frac{D A}{D B} = \frac{E A}{E C}$ , theo định lí Thalès đảo ta có: DE // BC.

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 1)

AD là đường phân giác của góc A trong ,

Ví dụ:

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 2)

RS là tia phân giác của góc . Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:

Vậy độ dài đoạn thẳng RQ là 12.

Sơ đồ tư duy Tính chất đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường trung bình của tam giác

Bài tập cuối chương 7 trang 58

Bài 1: Hai tam giác đồng dạng

Bài 2: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

1 1,092 21/09/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3