Toán 8 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài giảng Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử - Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 trang 23 Tập 1

Khởi động trang 23 Toán 8 Tập 1: Phát biểu của bạn nữ: “99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.”

Phát biểu của bạn nam: “Đúng rồi. Vì n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1 mà. (n là số tự nhiên, n > 1)”

Phát biểu của hai bạn có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có: 99³ – 99 = 99.(99² – 1)

= 99.(99² – 1²)

= 99.(99 – 1).(99 + 1)

= 99.98.100

Do đó 99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n³ – n = n(n² – 1)

= n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Khám phá 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5; b = 3,5 (các kích thước tính theo mét).

Tính theo cách nào nhanh hơn?

Lời giải:

Cách 1: Tính tổng diện tích các hình.

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) (m²).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab (m²).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a (m²).

Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a (m²).

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5

= 5 . (3,5 – 1 + 3,5 + 4,5)

= 5 . 10,5

= 52,5 (m²).

Cách 2: Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.

Chiều dài của nền nhà là:

b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).

Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) (m²).

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 (m²).

Chú ý: Ngoài 2 cách trên ta có thể tính diện tích của nền nhà theo cách khác.

Trong tất cả các cách thì ta thấy Cách 2 là nhanh nhất.

Giải Toán 8 trang 24 Tập 1

Thực hành 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) P = 6x – 2x³;

b) Q = 5x³ – 15x²y;

c) R = 3x³y³ – 6xy³z + xy.

Lời giải:

a) P = 6x – 2x³

= 2x.3 – 2x.x²

= 2x(3 – x²).

b) Q = 5x³ – 15x²y

= 5x².x – 5x².3y

= 5x²(x – 3y).

c) R = 3x³y³ – 6xy³z + xy

= xy.3x²y² – xy.6y²z + xy.1

= xy(3x²y² – 6y²z + 1).

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Khám phá 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ , từ đó hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức sau thành nhân tử:....

a) $4x^2-9={\left(\boxed{?}\right)}^2-{\left(\boxed{?}\right)}^2=\mathrm{...}$

b) $x^2{y}^2-\frac{1}{4}{y}^2={\left(\boxed{?}\right)}^2-{\left(\boxed{?}\right)}^2=\mathrm{...}$

Lời giải:

a) $4x^2-9={\left(\boxed{2x}\right)}^2-{\left(\boxed{3}\right)}^2=\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)$

b) $x^2{y}^2-\frac{1}{4}{y}^2={\left(\boxed{xy}\right)}^2-{\left(\boxed{\frac{1}{2}y}\right)}^2=\left(xy-\frac{1}{2}y\right)\left(xy+\frac{1}{2}y\right)$

Thực hành 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 9x² – 16;

b) 4x² – 12xy + 9y²;

c) t³ – 8;

d) 2ax³y³ + 2a.

Lời giải:

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4²

= (3x – 4)(3x + 4).

b) 4x² – 12xy + 9y²

= (2x)² – 2.2x.3y + (3y)²

= (2x – 3y)².

c) t³ – 8 = t³ – 2³

= (t – 2)(t² + t.2 + 2²)

= (t – 2)(t² – 2t + 4).

d) 2ax³y³ + 2a

= 2a.(x³y³ + 1)

= 2a.[(xy)³ + 1³]

= 2a(xy + 1)[(xy)² – xy.1 + 1²]

= 2a(xy + 1)(x²y² – xy + 1).

Vận dụng 1 trang 24 Toán 8 Tập 1: Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích 2x³ – 18x (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x

Lời giải:

Ta có: 2x³ – 18x = 2x(x² – 9)

= 2x(x² – 3²)

= 2x(x – 3)(x + 3)

Vậy hình hộp chữ nhật có thể tích 2x³ – 18x (với x > 3) sẽ có độ dài ba kích thước là 2x, x – 3 và x + 3.

Vận dụng 2 trang 24 Toán 8 Tập 1: Giải đáp câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 23)

Lời giải:

Ta có: 99³ – 99 = 99.(99² – 1)

= 99.(99² – 1²)

= 99.(99 – 1).(99 + 1)

= 99.98.100

Do đó 99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n³ – n = n(n² – 1)

= n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Khám phá 3 trang 24 Toán 8 Tập 1: Hãy hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức thành nhân tử:

a² + ab + 2a + 2b = (a² + ab) + (2a + 2b) = …

Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?

Lời giải:

a² + ab + 2a + 2b

= (a² + ab) + (2a + 2b)

= a(a + b) + 2(a + b)

= (a + b)(a + 2).

Ta có thể biến đổi theo cách khác như sau:

a² + ab + 2a + 2b

= (a² + 2a) + (ab + 2b)

= a(a + 2) + b(a + 2)

= (a + 2)(a + b).

Giải Toán 8 trang 25 Tập 1

Thực hành 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a³ – a²b + a – b;

b) x² – y² + 2y – 1.

Lời giải:

a) a³ – a²b + a – b

= (a³ – a²b) + (a – b)

= a²(a – b) + (a – b)

= (a – b)(a² + 1).

b) x² – y² + 2y – 1

= x² – (y² – 2y + 1)

= x² – (y – 1)²

= (x + y – 1).[x – (y – 1)]

= (x + y – 1)(x – y + 1).

Vận dụng 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).

Lời giải:

Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: a² (m²).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng a là: a.1 = a (m²).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng a là: ab (m²).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng 1 là: b.1 = b (m²).

Tổng diện tích bốn tấm pin mặt trời là:

S = a² + a + ab + b = (a² + a) + (ab + b)

= a(a + 1) + b(a + 1)

= (a + 1)(a + b) (m²).

Vậy có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật có chiều rộng là a + 1 (m) và chiều dài là a + b (m).

Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:

• Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).

• Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).

• Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 (m²).

Bài tập

Bài 1 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + 4x;

b) 6ab – 9ab²;

c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x);

d) (x – y)² – x(y – x).

Lời giải:

a) x³ + 4x = x.x² + x.4 = x(x² + 4).

b) 6ab – 9ab² = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).

c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x)

= 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]

= 2a(x – 1) – 3b(x – 1)

= (x – 1)(2a – 3b).

d) (x – y)² – x(y – x)

= (x – y)² + x(x – y)

= (x – y)(x – y + x)

= (x – y)(2x – y).

Bài 2 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x² – 1;

b) (x + 2)² – 9;

c) (a + b)² – (a – 2b)².

Lời giải:

a) 4x² – 1 = (2x)² – 1² = (2x + 1)(2x –1).

b) (x + 2)² – 9 = (x + 2)² – 3²

= (x + 2 + 3)(x + 2 – 3)

= (x + 5)(x – 1).

c) (a + b)² – (a – 2b)²

= [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]

= [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]

= (2a – b).3b.

Bài 3 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4a² + 4a + 1;

b) –3x² + 6xy – 3y²;

c) (x + y)² – 2(x + y)z + z².

Lời giải:

a) 4a² + 4a + 1

= (2a)² + 2.2a.1 + 1²

= (2a + 1)².

b) –3x² + 6xy – 3y²

= –3(x² – 2xy + y²)

= –3(x – y)².

c) (x + y)² – 2(x + y)z + z²

= [(x + y) – z]²

= (x + y – z)².

Bài 4 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 8x³ – 1;

b) x³ + 27y³;

c) x³ – y⁶.

Lời giải:

a) 8x³ – 1

= (2x)³ – 1³

= (2x – 1)[(2x)² + 2x.1 + 1²]

= (2x – 1)(4x² + 2x + 1).

b) x³ + 27y³

= x³ + (3y)³

= (x + 3y)[x² – x.3y + (3y)²]

= (x + 3y)(x² – 3xy + 9y²).

c) x³ – y⁶

= x³ – (y²)³

= (x – y²)[x² + x.y² + (y²)²]

= (x – y²)(x² + xy² + y⁴).

Bài 5 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x³ – 16x;

b) x⁴ – y⁴;

c) xy² + x²y + $\frac{1}{4}$y³;

d) x² + 2x – y² + 1.

Lời giải:

a) 4x³ – 16x

= 4x(x² – 4)

= 4x(x² – 2²)

= 4x(x + 2)(x – 2).

b) x⁴ – y⁴

= (x²)² – (y²)²

= (x² + y²)(x² – y²)

= (x² + y²)(x + y)(x – y).

c) xy² + x²y + $\frac{1}{4}$y³

= y(xy + x² + $\frac{1}{4}$y²)

$=y\left[x^2+2.x.\frac{1}{2}y+{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2\right]$

$=y{\left(x+\frac{1}{2}y\right)}^2$.

d) x² + 2x – y² + 1

= (x² + 2x + 1) – y²

= (x + 1)² – y²

= (x + 1 + y)(x + 1 – y).

Bài 6 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – xy + x – y;

b) x² + 2xy – 4x – 8y;

c) x³ – x² – x + 1.

Lời giải:

a) x² – xy + x – y

= (x² – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x – y)

= (x – y)(x + 1).

b) x² + 2xy – 4x – 8y

= (x² + 2xy) – (4x + 8y)

= x(x + 2y) – 4(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 4).

c) x³ – x² – x + 1

= (x³ – x²) – (x – 1)

= x²(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(x² – 1)

= (x – 1)(x + 1)(x – 1)

= (x – 1)²(x + 1).

Bài 7 trang 25 Toán 8 Tập 1: Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4.

Lời giải:

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a².

Tức là 49y² + 28y + 4 = a².

Ta phân tích đa thức 49y² + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a².

49y² + 28y + 4

= (7y)² + 2.7y.2 + 2²

= (7y + 2)²

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4 là 7y + 2.

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^3+x$ thành nhân tử: $x^3+x=x.x^2+x=x(x^2+1)$

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhóm hạng tử như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $xy+3z+xz+3y$ thành nhân tử:

$$\begin{gathered} xy+3z+xz+3y=(xy+xz)+(3z+3y) \\ =x(y+z)+3(z+y)=(x+3)(y+z) \end{gathered}$$

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức như thế nào?

Ví dụ: Phân tích đa thức $x^2-8x+16$ thành nhân tử: $x^2-8x+16=x^2-2.x.4+4^2=(x-4{)}^2$

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phân thức đại số

Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bài 7: Nhân, chia phân thức

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều