Toán 8 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Đơn thức và đa thức nhiều biến

HĐ4 trang 10 Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức $A=5x^2-4xy+2x-4x^2+xy$; $B=x^2-3xy+2x$.

Tính giá trị của $A$ và $B$ tại $x=-2$; $y={\displaystyle \frac{1}{3}}$. So sánh hai kết quả nhận được.

Lời giải:

Thay $x=-2$; $y={\displaystyle \frac{1}{3}}$ vào đa thức $A$ ta có:

$\begin{array}{l}A=5.{\left(-2\right)}^2-4.\left(-2\right).{\displaystyle \frac{1}{3}}+2.\left(-2\right)-4.{\left(-2\right)}^2+\left(-2\right).{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ A=5.4-{\displaystyle \frac{-8}{3}}+\left(-4\right)-4.4+{\displaystyle \frac{-2}{3}}\\ A=20+{\displaystyle \frac{8}{3}}-4-16+{\displaystyle \frac{-2}{3}}\\ A=2\end{array}$

Thay $x=-2$; $y={\displaystyle \frac{1}{3}}$ vào đa thức $B$ ta có:

$\begin{array}{l}B={\left(-2\right)}^2-3.\left(-2\right).{\displaystyle \frac{1}{3}}+2.\left(-2\right)\\ B=4-\left(-2\right)+\left(-4\right)\\ B=4+2-4\\ B=2\end{array}$

Vậy $A=B$

Thực hành 4 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) $A=x-2y+xy-3x+y^2$

b) $B=xyz-x^{2}y+xz-{\displaystyle \frac{1}{2}}xyz+{\displaystyle \frac{1}{2}}xz$

Lời giải:

a) Ta có:

$A=x-2y+xy-3x+y^2$

$=\left(x-3x\right)-2y+xy+y^2$

$=-2x-2y+xy+y^2$

Bốn hạng tử của $A$ lần lượt có bậc là $1$, $1$, $1$, $2$. Do đó bậc của đa thức $A$ là $2$.

b) Ta có:

$$\begin{gathered} B=xyz-x^{2}y+xz-\frac{1}{2}xyz+\frac{1}{2}xz \\ =\left(xyz-\frac{1}{2}xyz\right)-x^{2}y+\left(xz+\frac{1}{2}xz\right) \\ =\frac{1}{2}xyz-x^{2}y+\frac{3}{2}xz \end{gathered}$$

Ba hạng tử của $B$ lần lượt có bậc là $3$, $3$, $2$. Do đó bậc của đa thức $B$ là $3$.

Thực hành 5 trang 10 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của đa thức $A=3x^{2}y-5xy-2x^{2}y-3xy$ tại $x=3$; $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} A=3x^{2}y-5xy-2x^{2}y-3xy \\ =\left(3x^{2}y-2x^{2}y\right)+\left(-5xy-3xy\right) \\ =x^{2}y-8xy \end{gathered}$$

Thay $x=3$; $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ vào đa thức $A$ ta có:

$A=3^2.\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-\mathrm{8.3.}\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-9}{2}}-\left(-12\right)={\displaystyle \frac{15}{2}}$

Vậy $A={\displaystyle \frac{15}{2}}$ khi $x=3$; $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Giải Toán 8 trang 11 Tập 1

Vận dụng 2 trang 11 Toán 8 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật có các kịch thước như hình 4 (tính theo cm).

a) Viết các biểu thức tính thể tích và diện tích xung quang của hình hộp chữ nhật đó.

b) Tính giá trị của các đại lượng trên khi $a=2$cm; $h=5$cm.

Lời giải:

a) Biểu thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật: $V=3a.2a.h=6a^{2}h$

Biểu thức tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: $S_{xq}=\left(3a+2a\right).2.h=5a.2.h=10ah$

b) Thay $a=2$cm; $h=5$cm vào các biểu thức trên ta có:

$V={6.2}^2.5=\mathrm{6.4.5}=120$ ($c{m}^3$)

$S_{xq}=\mathrm{10.2.5}=100$ ($c{m}^2$)

Bài 1 trang 11 Toán 8 Tập 1: Chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau:

$-3$; $2z$; ${\displaystyle \frac{1}{3}}xy+1$; $-10x^{2}yz$; ${\displaystyle \frac{4}{xy}}$; $5x-{\displaystyle \frac{z}{2}}$; $1+{\displaystyle \frac{1}{y}}$

Lời giải:

Các đơn thức là: $-3$; $2z$; $-10x^{2}yz$;

Các đa thức là: ${\displaystyle \frac{1}{3}}xy+1$; $5x-{\displaystyle \frac{z}{2}}$

Bài 2 trang 11 Toán 8 Tập 1: Thu gọn các đơn thức sau. Chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức.

$5xyx$; $-xyz{\displaystyle \frac{2}{3}}y$; $-2x^2\left(-{\displaystyle \frac{1}{6}}\right)x$

Lời giải:

a) Ta có: $5xyx=5.\left(x.x\right).y=5x^{2}y$.

Đơn thức $5xyx$ có bậc bằng $2+1=3$.

b) Ta có: $-xyz{\displaystyle \frac{2}{3}}y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}.x.\left(y.y\right).z={\displaystyle \frac{-2}{3}}x{y}^{2}z$

Đơn thức này có bậc bằng $1+2+1=4$.

c) Ta có: $-2x^2\left(-{\displaystyle \frac{1}{6}}\right)x=\left(-2\right).\left(-{\displaystyle \frac{1}{6}}\right).\left(x^2.x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3$

Đơn thức này có bậc bằng $3$.

Bài 3 trang 11 Toán 8 Tập 1: Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) $M=x-3-4y+2x-y$

b) $N=-x^{2}t+13t^3+x{t}^2+5t^3-4$

Lời giải:

a) Ta có:

$M=x-3-4y+2x-y$

$M=\left(x+2x\right)+\left(-4y-y\right)-3$

$M=3x-5y-3$

Bậc của đa thức $M$ là: $1$

b) Ta có:

$N=-x^{2}t+13t^3+x{t}^2+5t^3-4$

$N=\left(13t^3+5t^3\right)-x^{2}t+x{t}^2-4$

$N=18t^3-x^{2}t+x{t}^2-4$

Bài 4 trang 11 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của đa thức $P=3x{y}^2-6xy+8xz+x{y}^2-10xz$ tại $x=-3$; $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$; $z=3$.

Lời giải:

Ta có:

$P=3x{y}^2-6xy+8xz+x{y}^2-10xz$

$P=\left(3x{y}^2+x{y}^2\right)+\left(8xz-10xz\right)-6xy$

$P=4x{y}^2-2xz-6xy$

Thay $x=-3$; $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$; $z=3$ vào $P$ ta có:

$P=4.\left(-3\right).{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-2.\left(-3\right).3-6.\left(-3\right).\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

$=-3-\left(-18\right)-9$

$=6$

Bài 5 trang 11 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức biểu thị thể tích $V$ và diện tích xung quanh $S$ của hình hộp chữ nhật trong Hình $5$.

Tính giá trị của $V$, $S$ khi $x=4$cm; $y=2$cm và $z=1$cm.

Lời giải:

a) Ta có:

$V=3x.4y.2z=\left(\mathrm{3.4.2}\right).xyz=24xyz$

$S=\left(3x+4y\right).2.2z=\left(3x+4y\right).4z$

b) Thay $x=4$cm; $y=2$cm và $z=1$cm vào các biểu thức $V$, $S$ ta có:

$V=\mathrm{24.4.2.1}=192$ ($c{m}^3$)

$S=\left(3.4+4.2\right).4.1=20.4=80$ ($c{m}^2$).

Lý thuyết Đơn thức và đa thức nhiều biến

1. Đơn thức

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Ví dụ: $1;2xy;-\frac{3}{4}{x}^{2}y(-4x);...$ là các đơn thức.

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ:

$1;2xy;5x^2{y}^{4}z;...$ là các đơn thức thu gọn.

$3x^{2}yx;-\frac{3}{4}{x}^{2}y(-4x);...$ không phải là các đơn thức thu gọn.

Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ: đơn thức $3x^3.y$ có hệ số là 3, phần biến là $x^3.y$.

Tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0 gọi là bậc của đơn thức đó.

Chú ý: + Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

+ Số 0 được gọi là đơn thức không có bậc.

Ví dụ: $2xy$ có bậc là $1+1=2$

$5x^2{y}^{4}z$ có bậc là $2+4+1=7$

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ:

Hai đơn thức $5x^2{y}^{4}z$ và $-\frac{1}{3}{x}^2{y}^{4}z$ có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là hai đơn thức đồng dạng.

Hai đơn thức $5x^2{y}^{4}z$ và $5x{y}^{2}z$ không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng như thế nào?

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}2x^3{y}^2+4x^3{y}^2=6x^3{y}^2\\ 4a{y}^2-3a{y}^2=a{y}^2\end{array}$

2. Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: mỗi đơn thức được gọi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

Số 0 được gọi là đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

Ví dụ: $x^2-4x+3;x^2+3xy{z}^2-yz+1;\left(x+3y\right)+\left(2x--y\right)$ là đa thức.

$\frac{x+y}{x-y},\frac{x^2+2}{x^2-y^2}$ không phải là đa thức.

$x^2-4x+3$ có 3 hạng tử.

$x^2+3xy{z}^2-yz+1$ có 4 hạng tử.

Đa thức thu gọn là gì?

Đa thức thu gọn là đa thức không chưa hai hạng tử nào đồng dạng.

Thu gọn đa thức như thế nào?

Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=x^3-2x^{2}y-x^{2}y+3x{y}^2-y^3\\ =x^3-3x^{2}y-3x{y}^2-y^3\end{array}$

Chú ý: Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

Tính giá trị của đa thức như thế nào?

Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Giá trị của biểu thức $x^2-4xy+3y^2$ tại x = 2, y = 1 là: $2^2-\mathrm{4.2.1}+{3.1}^2=-1$

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 5: Phân thức đại số

Bài 6: Cộng, trừ phân thức