Bài 16 trang 86 Toán 8 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 8 trang 84

Bài 16 trang 86 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

a) Chứng minh rằng ΔABH ᔕ ΔCBA, suy ra AB² = BH.BC.

b) Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.

c) Chứng minh rằng ΔAFE ᔕ ΔABC.

d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ IN vuông góc BC tại N. Chứng minh rằng ΔHNF ᔕ ΔHIC.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABH và CBA ta có:

$\hat{\mathrm{B}}$ chung

Suy ra ΔABH ᔕ ΔCBA nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}$ hay AB² = BH.BC

b) c) Tứ giác AEHF có 4 góc vuông suy ra AEHF là hình chữ nhật

Do đó $\widehat{\mathrm{AEF}}=\widehat{\mathrm{AEH}}$

ΔABH ᔕ ΔCBA nên $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{AEH}}$

Xét tam giác AEF và ACB ta có:

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

$\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{AEH}}$

Suy ra ΔAEF ᔕ ΔACB (g.g) nên $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}$ hay AE.AB = AF.AC

d) Xét tam giác vuông HNI và HFC ta có:

$\hat{\mathrm{H}}$ chung

Suy ra ΔHNI ᔕ ΔHFC (g.g)

Nên $\frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{HF}}=\frac{\mathrm{HI}}{\mathrm{HC}}$ hay $\frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{HI}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HC}}$

Xét tam giác HNF và HIC ta có:

$\hat{\mathrm{H}}$ chung

$\frac{\mathrm{HN}}{\mathrm{HI}}=\frac{\mathrm{HF}}{\mathrm{HC}}$

Suy ra ΔHNF ᔕ ΔHIC (c.g.c).