Giải Toán 10 trang 102 Tập 2 Cánh diều

Với giải bài tập Toán lớp 10 trang 102 Tập 2 trong Bài 6: Ba đường conic sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 102 Tập 2.

1 1570 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 trang 102 Tập 2

Bài 1 trang 102 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

a) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

c) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ ;

d) $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ .

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0.

+ Đáp án a, ta thấy a² = b² = 64, không thỏa mãn điều kiện a > b > 0.

+ Đáp án b, không phải dạng của phương trình chính tắc của elip.

+ Đáp án c, ta có a² = 64, b² = 25, suy ra a = 8, b = 5 nên a > b > 0, thỏa mãn.

+ Đáp án d, ta thấy a² = 25, b² = 64, suy ra a = 5 và b = 8 nên a < b, không thỏa mãn.

Vậy trong các phương trình đã cho thì phương trình c) $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ là phương trình chính tắc của elip.

Bài 2 trang 102 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của (E).

Lời giải

Ta có: $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{7^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1.$

+ Trục hoành Ox: y = 0, tọa độ giao điểm của (E) với trục hoành là nghiệm của hệ

$\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{7^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1 \\ y = 0 \end{cases}$ .

Giải hệ trên ta được 2 nghiệm (7; 0) và (– 7; 0).

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A₁(– 7; 0), A₂(7; 0).

+ Trục tung Oy: x = 0, tọa độ giao điểm của (E) với trục tung là nghiệm của hệ

$\{\begin{cases} x = 0 \\ \frac{x^{2}}{7^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1 \end{cases}$ .

Giải hệ trên ta được 2 nghiệm là (0; – 5), (0; 5).

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B₁(0; – 5), B₂(0; 5).

+ Ta có: $\frac{x^{2}}{7^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1.$

Vì a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.

Suy ra c² = a² – b² = 7² – 5² = 24.

Do đó, $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm của (E) là $F_{1} (- 2 \sqrt{6}; 0), F_{2} (2 \sqrt{6}; 0)$ .

Bài 3 trang 102 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tọa độ hai giao điểm của (E) với Ox và Oy lần lượt là A₁(– 5; 0) và B₂(0; $\sqrt{10}$ ).

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0.

+ Elip (E) cắt trục Ox tại A₁(– 5; 0) nên $\frac{{(- 5)}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = {(- 5)}^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 5^{2}$ .

Do a > 0 nên a = 5.

+ Elip (E) cắt trục Oy tại $B_{2} (0; \sqrt{10})$ nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = {(\sqrt{10})}^{2}$

Do b > 0 nên $b = \sqrt{10}$ .

Vì 5 > $\sqrt{10}$ nên a > b > 0 (thỏa mãn).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\sqrt{10})}^{2}} = 1 h a y \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ .

Bài 4 trang 102 Toán 10 Tập 2: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có A₁A₂ = 768 800 km và B₁B₂ = 767 619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip cần lập có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0.

+ Trục Oy là đường trung trực của đoạn A₁A₂ nên O là trung điểm của A₁A₂

Suy ra OA₂ = $\frac{A_{1} A_{2}}{2}$ $= \frac{768 800}{2} = 384 400$ .

Vì điểm A₂ nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O nên A₂(384 800; 0).

Điểm A₂ thuộc elip (E) nên

$\frac{384 800^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 384 800^{2} \Rightarrow a = 384 800$ (do a > 0).

+ Trục Ox là đường trung trực của đoạn B₁B₂ nên O là trung điểm của B₁B₂

Suy ra OB₂ = $\frac{B_{1} B_{2}}{2}$ $= \frac{767 619}{2} = 383 809,5$ .

Vì điểm B₂ nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O nên B₂(0; 383 809,5).

Elip (E) cắt trục Oy tại B₂(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{{338309,5}^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = {338309,5}^{2} \Rightarrow b = 338309,5$ (do b > 0).

Do 384 800 > 383 809,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^{2}}{384 800^{2}} + \frac{y^{2}}{383 {809,5}^{2}} = 1$ .

Bài 5 trang 102 Toán 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

a) $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

c) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ ;

d) $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Lời giải

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > 0, b > 0.

+ Phương trình ở đáp án a không có dạng trên nên đây không phải phương trình chính tắc của hypebol.

+ Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0. Cụ thể

- Đáp án b: a = b = 3 > 0.

- Đáp án c: a = 3 > 0, b = 8 > 0.

- Đáp án d: a = 8 > 0, b = 3 > 0.

Vậy các phương trình ở đáp án b, c, d là phương trình chính tắc của hypebol.

Bài 6 trang 102 Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ;

b) $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

Lời giải

a) Ta có: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

Suy ra hypebol có a² = 9, b² = 16.

Do đó, c² = a² + b² = 9 + 16 = 25.

Từ đó suy ra c = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là F₁(– 5; 0) và F₂(5; 0).

b) Ta có: $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Suy ra hypebol có a² = 36, b² = 25.

Do đó, c² = a² + b² = 36 + 25 = 61

Từ đó suy ra $c = \sqrt{61}$ .

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là F₁(– $\sqrt{61}$ ; 0) và F₂( $\sqrt{61}$ ; 0).

Bài 7 trang 102 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết $N (\sqrt{10}; 2)$ nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.

Lời giải

Gọi dạng của phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > 0, b > 0.

+ Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3 nên tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là điểm (3; 0). Khi đó ta có:

$\frac{3^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow a^{2} = 3^{2} \Rightarrow a = 3$ (do a > 0).

+ Điểm $N (\sqrt{10}; 2)$ nên $\frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{3^{2}} - \frac{2^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} = 36 \Leftrightarrow b^{2} = 6^{2} \Rightarrow b = 6$ (do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1 h a y \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Bài 8 trang 102 Toán 10 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) y² = – 2x;

b) y² = 2x;

c) x²= – 2y;

d) $y^{2} = \sqrt{5} x$ .

Lời giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

a) y² = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.

b) y² = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.

c) Phương trình x² = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

d) Ta có: $y^{2} = \sqrt{5} x = 2. \frac{\sqrt{5}}{2} x$ , vì $\frac{\sqrt{5}}{2} > 0$ nên đây là phương trình chính tắc của parabol với $p = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .