Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D thuộc BC

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 7

Bài 106 trang 99 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$.

b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.

c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

Lời giải

 

a) Xét $∆$ABD và $∆$EAD có:

AB = AE (giả thiết),

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AD là cạnh chung

Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

Do đó $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$.

b) Xét $∆$ABC và $∆$AEF có:

$\widehat{FAC}$ là góc chung,

AB = AE (giả thiết),

$\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$ (Do $\widehat{ABD}=\widehat{AED}$)

Suy ra ∆ABC = ∆AEF (g.c.g)

Do đó AC = AF (hai cạnh tương ứng)

Vậy AC = AF.

c) Xét ∆AHF và DAHC có:

AH là cạnh chung,

$\widehat{FAH}=\widehat{CAH}$ (do AD là tia phân giác của góc BAC),

AF = AC (chứng minh câu b)

Do đó ∆AHF = $∆$AHC (c.g.c)

Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DFC.

Xét tam giác DFC có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I

Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.

Do đó IH = $\frac{1}{2}$ID (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay DI = 2IH.

Vậy DI = 2IH.