Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 7

Bài 104 trang 99 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.

a) Chứng minh AC = EB và AC song song với EB.

b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. CHứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.

c) Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H. Cho biết $\widehat{HBE}=50°;\widehat{MEB}=25°$. Tính số đo các góc HEB và HEM.

Lời giải

 

a) Xét $∆$AMC và $∆$EMB có:

AM = ME (giả thiết),

$\widehat{AMC}=\widehat{EMB}$ (hai góc đối đỉnh),

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

Do đó ∆AMC = ∆EMB (c.g.c)

Suy ra AC = EB (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{MAC}=\widehat{MEB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{MAC}$ và $\widehat{MEB}$ ở vị trí so le trong nên AC // BE.

Vậy AC = EB và AC song song với EB.

b) Xét $∆$AMI và $∆$EMK có:

AM = ME (giả thiết),

$\widehat{MAI}=\widehat{MEK}$ (do $\widehat{MAC}=\widehat{MEB}$),

AI = EK (giả thiết)

Do đó ∆AMI = ∆EMK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AMI}=\widehat{EMK}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMI}+\widehat{IME}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{EMK}+\widehat{IME}=180°$

Hay $\widehat{IMK}=180°$

Do đó ba điểm I, M, K thẳng hàng.

Vậy ba điểm I, M, K thẳng hàng.

c) Trong tam giác HBE vuông tại H có:

$\widehat{HBE}+\widehat{HEB}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{HEB}=90°-\widehat{HBE}=90°-50°=40°$.

Ta có $\widehat{HEB}=\widehat{HEM}+\widehat{MEB}$ (hai góc kề nhau)

Hay $40°=\widehat{HEM}+25°$

Suy ra $\widehat{HEM}=40°-25°=15°$.

Vậy $\widehat{HEB}=40°;\widehat{HEM}=15°$.