Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 7

Bài 103 trang 98 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh:

a) OC vuông góc với FH;

b) Tam giác OAI là tam giác cân;

c) Tam giác BAI là tam giác cân.

Lời giải

 

a) Xét $∆$OHC và $∆$OFC có:

$\widehat{OHC}=\widehat{OFC}(=90°)$,

OC là cạnh chung,

$\widehat{OCH}=\widehat{OCF}$ (do CO là tia phân giác của góc ACB)

Do đó ∆OHC = ∆OFC (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra CH = CF, OH = OF (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó C và O cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FH.

Hay CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH.

Do đó OC ⊥ FH.

Vậy OC ⊥ FH.

b) Xét ∆OHA và ∆OFI có:

$\widehat{OHA}=\widehat{OFI}\left(=90°\right)$,

OH = OF (chứng minh câu a),

AH = IF (giả thiết),

Do đó ∆OHA = ∆OFI (hai cạnh góc vuông)

Suy ra OA = OI (hai cạnh tương ứng)

Tam giác OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O.

Vậy tam giác OAI là tam giác cân tại O.

c) • Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB).

Xét $∆$AOH và $∆$AOK có

$\widehat{OHA}=\widehat{OK\text{A}}(=90°)$,

OA là cạnh chung,

$\widehat{HAO}=\widehat{KAO}$ (do AO là tia phân giác của góc BAC)

Do đó ∆AOH = ∆AOK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = AK (hai cạnh tương ứng).

• Xét tam giác ABC có O là giao điểm của hai tia phân giác của góc ACB và BAC.

Suy ra BO là tia phân giác của góc ABC.

Xét $∆$BOK và $∆$BOF có

$\widehat{OKB}=\widehat{OFB}(=90°)$,

OB là cạnh chung,

$\widehat{KBO}=\widehat{FBO}$ (do BO là tia phân giác của góc ABC)

Do đó ∆BOK = ∆BOF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BK = BF (hai cạnh tương ứng)

• Ta có AB = AK + KB, BI = BF + FI

Mà BK = BF, AK = IF (= AH)

Từ đó suy ra AB = BI nên tam giác BAI cân tại B.

Vậy tam giác BAI cân tại B.