Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh tam giác ADB = tam giác AEC

Giải SBT Toán 7 Cánh diều Bài tập cuối chương 7

Bài 105 trang 99 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.

b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.

c) So sánh HB và HD.

d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét $∆$ABD và $∆$ACE có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

$\widehat{A}$ là góc chung,

Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy ∆ADB = ∆AEC.

b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng).

Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.

Mà AB = AC, AE = AD.

Suy ra BE = CD.

Xét $∆$EHB và $∆$DHC có:

$\widehat{HEB}=\widehat{H\text{D}C}\left(=90°\right)$,

BE = CD (chứng minh trên),

$\widehat{EBH}=\widehat{DCH}$ (do $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$)

Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).

Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.

Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.

c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Mà HC = HB (chứng minh câu b)

Do đó HB > HD.

Vậy HB > HD.

d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.

Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.

Từ đó ta có PB = PC.

Xét $∆$HBP và $∆$HCP có:

HB = HC (chứng minh ở câu b),

HP là cạnh chung,

PB = PC (chứng minh trên)

Do đó $∆$HBP = $∆$HCP (c.c.c)

Suy ra $\widehat{HPB}=\widehat{HPC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{HPB}+\widehat{HPC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{HPB}=\widehat{HPC}=\frac{180°}{2}=90°$

Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)

• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng vuông góc với BC tại P

Hay ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.

*Phương pháp giải:

a)hai tam giác bằng nhau theo cạnh huyền góc nhọn

b)Dựa vào 2 cạnh bên bằng nhau suy ra tam giác cân

c)Dựa vào trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất

d)Dựa ba điểm cùng vuông góc với 1 đường thẳng tại 1 điểm thuộc đường thẳng

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng

2. Mối quan hệ

3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng.

Chỉ có duy nhất 1 và chỉ một đường thẳng đi qua 3 điểm bất kì

3. Các phương pháp

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất góc bẹt

Chọn một điểm D bất kì: nếu ∠ABD + ∠DBC = 180 độ thì ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-cơ-lit

Cho 3 điểm A, B, C và 1 đường thẳng a. Nếu AB // a và AC // a thì ta có thể khẳng định ba điểm A; B; C thẳng hàng. (dựa trên cơ sở tiên đề Ơ-cơ-lít trong chương trình Toán lớp 7)

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Nếu đoạn thẳng AB ⊥ a; đoạn thẳng AC ⊥ a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Chỉ có 1 và chỉ 1 một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước)

Hoặc sử dụng tính chất A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .(nằm trong chương trình toán học lớp 7)

Phương pháp 4: Sử dụng tính duy nhất tia phân giác

Nếu 2 tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ta có thể khẳng định 3 điểm O, A, B thẳng hàng

Cơ sở lý thuyết phương pháp trên: Một góc chỉ có một và chỉ một đường phân giác

* Hoặc : Hai tia OA và OB nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta có ∠xOA = ∠xOB thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất đường trung trực

Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm K’ là giao điểm của 2 đoạn thẳng BD và AC. Nếu điểm K’ là trung điểm BD và K’ trùng K. Từ đó ta có thể kết luận 3 điểm A, K, C thẳng hàng.

(Cơ sở lý thuyết của phương pháp này: Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất 1 trung điểm)

Phương pháp 6: Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh 3 điểm thuộc các đường đồng quy của tam giác.

Ví dụ: Chứng minh điểm E là trọng tâm tam giác ABC và đoạn thẳng AM là trung tuyến của góc A suy ra 3 điểm A, M, H thẳng hàng.

Bên cạnh đó, các em học sinh hoàn toàn có thể vận dụng cho tất cả các đường đồng quy khác của tam giác như 3 đường cao, 3 đường phân giác hoặc 3 đường trung trực trong tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp vectơ

Ta sử dụng tính chất của 2 vectơ có cùng phương để có thể chứng minh có đường thẳng đi qua cả 3 điểm (tức là 3 điểm thẳng hàng)

Ví dụ: Chứng minh vectơ AB và vectơ AC có cùng phương, hay vectơ CA và vectơ CB, hay vectơ AB vectơ và vectơ BC có cùng phương thì ta có thể kết luận 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Xem thêm

Các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng