Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài 9.20 trang 58 SBT Toán 7 Tập 2:Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S. Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

Lời giải:

Tam giác OPM là tam giác cân tại O (vì Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra $\widehat{OPM}=\widehat{OMP}$  (1) và OM = OP.

Lại có tam giác RPM là tam giác cân tại R (vì Ox, hay chính là Rx là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

Suy ra $\widehat{RPM}=\widehat{RMP}$  (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có: $\widehat{OPM}-\widehat{RPM}=\widehat{OMP}-\widehat{RMP}$ .

Hay $\widehat{OPR}=\widehat{OMR}$  (*)

Tương tự ta có tam giác OPN là tam giác cân tại O (vì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{OPN}=\widehat{ONP}$  (3) và ON = OP.

Lại có tam giác SPN là tam giác cân tại R (vì Oy, hay chính là Sy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

Suy ra $\widehat{SPN}=\widehat{SNP}$  (4)

Trừ vế với vế của (3) cho (4) ta có: $\widehat{OPN}-\widehat{SPN}=\widehat{ONP}-\widehat{SNP}$ .

Hay $\widehat{OPS}=\widehat{ONS}$  (**)

Vì OM = ON (= OP) nên tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Do đó: $\widehat{OMR}=\widehat{ONS}$  (***)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra $\widehat{OPR}=\widehat{OPS}$ .

Vậy suy ra PO là tia phân giác của góc RPS (đpcm).