Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) vuông góc (ABCD). Gọi M là trung điểm

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 44 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của BM và AC.

Suy ra: H ∈ BM ⊂ (SBM) và H ∈ AC ⊂ (SAC) nên ta có H ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Mà S ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Từ đó suy ra: SH = (SBM) ∩ (SAC).

Ta có: (SAC) ⊥ (ABCD), (SBM) ⊥ (ABCD), SH = (SBM) ∩ (SAC).

Suy ra SH ⊥ (ABCD), tức H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).

Nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AH và bằng

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ADC}=90°.$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

$AC=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}$ (vì DC = AB do ABCD là hình chữ nhật).

$\Rightarrow AC=\sqrt{{\left(4a\right)}^2+{\left(3a\right)}^2}=5a.$

Do M là trung điểm của AD nên $AM=\frac{AD}{2}=\frac{4a}{2}=2a.$

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC hay AM // BC.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès với AM // BC ta có: $\frac{AH}{HC}=\frac{AM}{BC}=\frac{2a}{4a}=\frac{1}{2}.$

$\Rightarrow AH=\frac{1}{2}HC.$

$\Rightarrow AH=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}.5a=\frac{5a}{3}.$

Vì SH ⊥ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H có: $\cos \phi =\cos \widehat{SAH}=\frac{AH}{SA}=\frac{\frac{5a}{3}}{5a}=\frac{1}{3}.$