Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC

Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Bài 4.27 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$.

b) ∆AED = ∆BEC.

c) AB song song với DC.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AED có:

$\widehat{ADE}+\widehat{DAE}+\widehat{AED}=180°$

$\widehat{DAE}=180°-\widehat{ADE}-\widehat{AED}$ (1)

Xét tam giác BEC có:

$\widehat{BCE}+\widehat{EBC}+\widehat{BEC}=180°$

$\widehat{EBC}=180°-\widehat{BCE}-\widehat{BEC}$ (2)

Mà $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$; $\widehat{AED}=\widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra, $\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ hay $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ (điều phải chứng minh).

b) Xét ∆AED và ∆BEC ta có:  

$\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$ (giả thiết)

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆AED = ∆BEC (g – c – g).

c) Vì ∆AED = ∆BEC nên AE = BE; ED = EC.

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.

Do đó, AC = BD.

Xét ∆ABD và ∆BAC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

AB chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (c – c – c)

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác AEB có:

$\widehat{ABE}+\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=180°$

Do đó, $2\widehat{ABE}=180°-\widehat{AEB}$ (vì $\widehat{ABE}=\widehat{BAE}$ do $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$)

Suy ra $\widehat{ABE}=\frac{180°-\widehat{AEB}}{2}$  (4)

Xét ∆ACD và ∆BDC ta có:  

AC = BD (chứng minh trên)

CD chung

AD = CB (giả thiết)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c – c – c)

Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác DEC có:

$\widehat{DCE}+\widehat{EDC}+\widehat{DEC}=180°$

Do đó, $2\widehat{EDC}=180°-\widehat{DEC}$ (vì $\widehat{EDC}=\widehat{DCE}$ do $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$)

Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180°-\widehat{DEC}}{2}$ (5)

Lại có, $\widehat{AEB},\widehat{DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (6)

Từ (4); (5); (6) suy ra $\widehat{ABE}$ = $\widehat{EDC}$ hay $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$.

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 4.21 trang 60 SBT Toán 7 Tập 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau...

Bài 4.22 trang 61 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và DEF bất kỳ, thỏa mãn AB = FE, BC = DF...

Bài 4.23 trang 61 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và MNP bất kì, thỏa mãn $\widehat{ABC}=\widehat{PNM}$, $\widehat{ACB}=\widehat{NPM}$ và BC = PN...

Bài 4.24 trang 61 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và $\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$...

Bài 4.25 trang 61 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.25, biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ và $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$...

Bài 4.26 trang 61 SBT Toán 7 Tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$...

Bài 4.28 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28)...

Bài 4.29 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF...

Bài 4.30 trang 62 SBT Toán 7 Tập 1: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30...