Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là $\widehat{B},\widehat{\text{\hspace{0.17em}}C},\widehat{D},\widehat{E}$ trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, $\widehat{A}=\widehat{G}=90°,$ $\widehat{B}=\widehat{E}=x,$$\widehat{C}=\widehat{D}=y.$ Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Lời giải:

Kẻ CH ⊥ AG (H ∈ AG), DK ⊥ AG (K ∈ AG).

Gọi I = BE ∩ CH, J = BE ∩ DK.

Ta có $\widehat{A}=\widehat{G}=90°$ nên AB ⊥ AG và EG ⊥ AG.

Suy ra AB // EG.

⦁ Xét tứ giác ABEG có: AB // EG, AB = EG.

Suy ra ABEG là hình bình hành.

Hơn nữa $\widehat{A}=90°$ nên ABEG là hình chữ nhật.

Suy ra BE = AG = 12 m và BE // AG.

⦁ Xét tứ giác ABIH có:

BI // AH (do BE //AG);

AB // IK (do cùng vuông góc với AG)

Suy ra ABIH là hình bình hành.

Hơn nữa $\widehat{A}=90°$ nên ABIH là hình chữ nhật.

Suy ra IH = AB = 2 m và $\widehat{BIH}=90°.$

Tương tự ta dễ dàng có: JEGK và CDJI là hai hình chữ nhật.

Từ đó ta có: JK = EG = 2 m và $\widehat{EJK}=90°$(do JEGK là hình chữ nhật);

IJ = CD = 1 m và CD // IJ (do CDJI là hình chữ nhật).

Suy ra: CI = CH – IH = 4 – 2 = 2 m;

DJ = DK – JK = 4 – 2 = 2 m.

⦁ Xét tam giác BCI và tam giác EDJ có:

$\widehat{BIC}=\widehat{CJD}=90°$ (do $\widehat{BIH}=\widehat{EJK}=90°);$

BC = ED (giả thiết);

CI = DJ (cùng bằng 2 m).

Do đó ∆BCI = ∆EDJ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

$\Rightarrow BI=EJ=\frac{BE-IJ}{2}=\frac{12-1}{2}=5,5m.$

Vì tam giác BCI vuông tại I nên ta có:

$\tan \widehat{IBC}=\frac{CI}{BI}=\frac{2}{5,5}=\frac{4}{11}\Rightarrow \widehat{IBC}\approx 20°.$

$\Rightarrow x=\widehat{ABI}+\widehat{IBC}\approx 90°+20°=110°.$

Ta cũng có $\widehat{BCI}=90°-\widehat{IBC}\approx 90°-20°=70°.$

Do đó $y=\widehat{BCD}=\widehat{BCI}+\widehat{ICD}\approx 70°+90°=160°.$

Vậy x ≈ 110° và y ≈ 160°.