Bài 1 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 1 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) và AB ⊂ (ABCD), AC ⊂ (ABCD).

Suy ra: SA ⊥ AB, SA ⊥ AC.

Mà AB ∩ AC = A ∈ SA.

Do đó $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C].

Vì ABCD là hinh thoi cạnh a và AC = a nên ta có AB = AC = BC = a.

Suy ra tam giác ABC đều. Khi đó $\widehat{BAC}=60°.$

Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, C] = 60°.

b) Ta có: SA ⊥ (ABCD) và AB ⊂ (ABCD), AD ⊂ (ABCD).

Suy ra: SA ⊥ AB, SA ⊥ AD.

Mà AB ∩ AD = A ∈ SA.

Do đó $\widehat{BAD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, D].

Vì ABCD là hinh thoi cạnh a và AC = a nên ta có AD = AC = CD = a.

Suy ra tam giác ACD đều.

Khi đó $\widehat{CAD}=60°.$

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=60°+60°=120°.$

Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng 120°.

c) Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là góc $\widehat{SCA}.$

Xét tam giác SAC vuông tại (do SA ⊥ AC theo câu a) có:

$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a}=1.$ Do đó $\widehat{SCA}=45°.$

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.