Bài 3 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 3 trang 94 Toán 11 Tập 2: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Bài toán được mô hình hóa như bài vẽ trên, với:

⦁ AB là chiều dài con dốc;

⦁ BI là độ cao của con dốc so với mặt phẳng nằm ngang;

⦁ AH và BK lần lượt là độ cao của điểm A và điểm B so với mặt nước biển.

Theo bài ra ta có: AH = 200 m, BK = 220 m, AB = 120 m và độ dốc của con dốc là góc được tạo bởi đường thẳng AB và đường thẳng AI (do AI là hình chiếu của AB trên mặt phẳng nằm ngang) và chính là số đo của $\widehat{BAI}.$

Dễ thấy AHKI là hình chữ nhật nên IK = AH = 200 m.

Suy ra BI = BK – IK = 220 – 200 = 20 (m).

Vì tam giác ABI vuông tại I nên ta có:

$\sin \widehat{BAI}=\frac{BI}{AB}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}\Rightarrow \widehat{BAI}\approx 9,59°.$

Vì độ dốc 100% tương ứng với góc 90°.

Suy ra góc 9,59° có độ dốc là $\frac{9,59\cdot 100\%}{90}\approx 10,66\%.$

Vậy độ dốc của con dốc đó khoảng 10,66%.