Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 4 trang 81

Bài 4.30 trang 82 Toán 9 Tập 1: ĐỐ VUI. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một cái giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Eratosthenes thấy một tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.

Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.38, điểm O là tâm Trái Đất, điểm S tượng trưng cho thành phố Syene, điểm A tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm H là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Lời giải:

Theo em, nhà toán học và thiên văn học Eratosthenes đã tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất như sau:

Các tia sáng mặt trời chiếu thẳng đứng, nên ta coi các tia sáng BH, OS song song với nhau. Khi đó $\widehat{AOS}=\widehat{BHA}$(hai góc so le trong).

Xét ∆ABH vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{BHA}=\frac{AB}{AH}=\frac{\mathrm{3,1}}{25}=\frac{31}{250},$ suy ra $\widehat{BHA}\approx 7°4^{\text{'}}.$ Do đó $\widehat{AOS}\approx 7°4^{\text{'}}.$

Xét ∆OAS vuông tại S, ta có:

$\sin \widehat{AOS}=\frac{AS}{OA},$ suy ra $OA=\frac{AS}{\sin \widehat{AOS}}\approx \frac{800}{\sin 7°4^{\text{'}}}\approx 6\mathrm{502,79}\text{ (km).}$

Khi đó, “chu vi” của Trái Đất khoảng:

2π.OA ≈ 2 . 3,14 . 6 502,79 ≈ 40 838 (km).