Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 40

Bài 2.43 trang 42 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a) u₁ = 2, u_{n + 1} = u_n + n;

b) u_n = 6n + 3;

c) u₁ = 1, u_{n + 1} = n ∙ u_n;

d) u_n = 3 . 5ⁿ.

Lời giải:

a) Từ hệ thức truy hồi ta có u₁ = 2; u₂ = u₁ + 1 = 2 + 1 = 3; u₃ = u₂ + 2 = 3 + 2 = 5.

Ta có 3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2 nên u₂ – u₁ ≠ u₃ – u₂ và $\frac{3}{2}\ne \frac{5}{3}$ nên $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$.

Do vậy, dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

b) Từ u_n = 6n + 3, suy ra u_{n + 1} = 6(n + 1) + 3 = 6n + 9.

Ta có u_{n + 1} = (6n + 9) – (6n + 3) = 6 không đổi với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 6.

c) Từ hệ thức truy hồi ta có u₁ = 1; u₂ = 1; u₃ = 2 . u₂ = 2.

Từ đó suy ra u₂ – u₁ ≠ u₃ – u₂ và $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

d) Từ u_n = 3 . 5ⁿ suy ra u_{n + 1} = 3 . 5^{n + 1} = 3 . 5 . 5ⁿ.

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\mathrm{3.5.5}}^n}{{3.5}^n}=5$ không đổi với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 5.