TOP 40 câu Trắc nghiệm Ôn tập chương 3 (có đáp án 2024) – Toán 9

Hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai là hệ phương trình ở đáp án D nên loại D

+ Với hệ phương trình A:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ x+y=4\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1-3=-2\\ 1+3-4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2=-2\\ 4=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

(luôn đúng) nên (1; 3) là nghiệm

của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ x+y=4\end{array}\right.$

+ Với hệ phương trình B:

$\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=4\end{array}\right.$

Thay x = 1; y = 3 ta được

$\left\{\begin{array}{l}2.1-3=0\\ 1+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1=0\\ 1+3=4\end{array}\right.$

(vô lý) nên loại B.

+ Với hệ phương trình C:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+y=4\end{array}\right.$

Thay x = 1; y = 3 ta được

$\left\{\begin{array}{l}1+3=4\\ 2.1+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4=4\\ 5=4\end{array}\right.$

(vô lý) nên loại C.

Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) (x $\in \mathbb{N}*$, x < 300)

Số học sinh của trường thứ 2 dự thi là y (học sinh) (y $\in \mathbb{N}*$, y < 30)

Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi nên ta có phương trình:

x + y = 300 (1)

Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt nên ta có:

$\frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=300\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{60}{100}x+\frac{60}{100}y=180\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{15}{100}=27\\ x+y=300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=180\\ y=120\end{array}\right.\left(tmdk\right) \end{gathered}$$

Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; Số học sinh của trường thứ 2 dự thi là 120 học sinh.

Đặt |x| = a$\ge$0; |y| = b$\ge$0

Khi đó, ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}a+4b=18\\ 3a+b=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=18-4b\\ 3\left(18-4b\right)+b=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=18-4b\\ b=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=2\\ \left|y\right|=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 2\\ y=\pm 4\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 2x+y=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 8x+4y=24\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 11x=22\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{3x+2}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Gọi vận tốc của A và B lần lượt là x, y (km/h; x, y > 0)

Hai người đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h nên ta có phương trình:

2x + 2y = 150 (1)

Nếu A tăng vận tốc thêm 5 km/h và B giảm vận tốc 5 km/h thì vận tốc của A gấp đôi vận tốc của B nên ta có

x + 5 = 2 (y – 5) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+2y=150\\ x+5=2\left(y-5\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+2y=150\\ x-2y=-15\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+2y=150\\ 2x-4y=-30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=45\\ y=30\end{array}\right.\left(tmdk\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của A và B lần lượt là: 45 km/h và 30 km/h

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

$$\begin{gathered} \iff \frac{m^2}{1}=\frac{4m}{-2}=\frac{1}{\frac{1}{2-m}} \\ \iff m^2=-2m=2-m \end{gathered}$$

Với m$\ne$2

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2=-2m\\ -2m=2-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.\\ m=-2\end{array}\right.\iff m=-2 \end{gathered}$$

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là x ngày, thời gian đội thứ 2 làm một mình xong việc là y ngày (x, y > 12)

Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc);

đội thứ 2 làm được $\frac{1}{y}$ (công việc)

Vì 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc nên trong 1 ngày cả 2 đội làm được công việc nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$ (1)

Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải làm một mình trong 7 ngày thì xong việc nên ta có phương trình:

$8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+7.\frac{1}{x}=1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ 8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{7}{x}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ 8.\frac{1}{12}+\frac{7}{x}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ \frac{7}{x}=\frac{1}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=21\\ y=28\end{array}\right.\left(tmđk\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong việc là 21 ngày

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+m\left(2m-mx\right)=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+2m^2-m^{2}x=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x\left(m^2-1\right)=2m^2-m-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét m² = 1$\iff$m =$\pm$1

Nếu m = 1 ta được 0x = 0 (đúng với$\forall$x)

$\Rightarrow$Hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = −1 ta được 0x = 2 (vô lý)

$\Rightarrow$hệ phương trình vô nghiệm

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x (sản phẩm); số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm)

(x, y$\in \mathbb{N}*$ ; x, y < 1200)

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình:

x + y = 1200 (1)

Tháng thứ 2, tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được (x + x. 30%) sản phẩm

và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên

tổ 2 sản xuất được (y – y.22%) sản phẩm.

Do đó, 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm, nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} x+\frac{30}{100}x+y-\frac{22}{100}y=1300 \\ \iff \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=1200\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{78}{100}x+\frac{78}{100}y=936\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{52}{100}x=364\\ x+y=1200\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ x+y=1200\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ y=500\end{array} \left(tmđk\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được

500.78 : 100 = 390 sản phẩm

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m\left(1-my\right)-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m-m^{2}y-y=-m\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Do m^2+1\ge 1\Rightarrow y=\frac{2m}{m^2+1} \\ \Rightarrow x=1-my \\ =1-\frac{2m^2}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1} \end{gathered}$$

Xét: $x^2+y^2$

$$\begin{gathered} =\frac{4m^2}{{\left(1+m^2\right)}^2}+\frac{{\left(1-m^2\right)}^2}{{\left(1+m^2\right)}^2} \\ =\frac{4m^2+1-2m^2+m^4}{{\left(1+m^2\right)}^2} \\ =\frac{{\left(1+m^2\right)}^2}{{\left(1+m^2\right)}^2}=1 \end{gathered}$$

Vậy x² + y² = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m

Gọi thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x(h), thời gain vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5)

Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$ (1)

Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong 1/3h thì được 1/5 bể nên ta có:

$\frac{0,25}{x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\\ \frac{1}{4x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{2}{9}\\ \frac{1}{4x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{12x}=\frac{1}{45}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}12x=45\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{15}{4}=3,75\\ y=\frac{5}{2}=2,5\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian 2 vòi chảy 1 mình đầy bể là 2,5h

Giải hệ phương trình (I)

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2y\\ 1+2y+y=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1+2y\\ 3y=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hai phương trình tương đương

$\iff$ hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (3; 1) cũng là nghiệm của phương trình (II)

Thay $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$vào hệ phương trình (II) ta được

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3a-1=2\\ 6a+b=7\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Gọi thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x(h), thời gain vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5)

Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$ (1)

Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong 1/3h thì được 1/5 bể nên ta có:

$\frac{0,25}{x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy thời gian 2 vòi chảy 1 mình đầy bể là 2,5h

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+\left(m+1\right)y=1\\ 4x-y=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4x+2\\ x+\left(m+1\right)\left(4x+2\right)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4x+2\\ x+4x\left(m+1\right)+2\left(m+1\right)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4x+2\\ x\left(4m+5\right)=-\left(2m+1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Nếu $m=-\frac{5}{4}\Rightarrow 0x=\frac{3}{2}(vô lý)$

Nếu $m\ne -\frac{5}{4}\Rightarrow x=\frac{-2m-2}{4m+5}$

$\Rightarrow$ y = 4x + 2 $=\frac{6}{4m+5}$

Theo bài ra:

$$\begin{gathered} x^2+y^2=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow {\left(\frac{-2m-1}{4m+5}\right)}^2+{\left(\frac{6}{4m+5}\right)}^2=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$\iff$ 4 (4m² + 4m + 1 + 36) = 16m² + 40m + 25

$\iff$24m = 124 $\iff m=\frac{41}{8}$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+ay=1\\ -ax+y=a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-ay\\ -a\left(1-ay\right)+y=a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-ay\\ y\left(a^2+1\right)=2a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-ay\\ y=\frac{2a}{a^2+1}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-a^2}{a^2+1}\\ y=\frac{2a}{a^2+1}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn: x < 1; y < 1

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1-a^2}{a^2+1}<1\\ \frac{2a}{a^2+1}<1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}1-a^2<a^2+1\\ 2a<a^2+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2a^2>0\\ {\left(a-1\right)}^2>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ a\ne 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có: $45\text{'}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$ (h)

Gọi quãng đường AB là x (km; x > 0) và thời gian dự định là y (h;$y>\frac{1}{2}$ )

Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm nửa giờ nên ta có phương trình:

$x=45\left(y+\frac{1}{2}\right)$ (1)

Nếu đi với vận tốc 60 km/h sẽ tới B sớm 45 phút nên ta có:

$x=60\left(y=-\frac{3}{4}\right)$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=45\left(y+\frac{1}{2}\right)\\ x=60\left(y-\frac{3}{4}\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=45y=\frac{45}{2}\\ x-60y=-45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=225\left(tmdk\right)\\ y=4,5\left(tmdk\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy quãng đường AB là 225 km

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}x+2y\ne 0\\ y+2x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2y\\ y\ne -2x\end{array}\right.$

Đặt $\frac{1}{x+2y}=u$ ;$\frac{1}{2x+y}=v$ (u, v$\ne$0)

Khi đó, ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}2u+v=3\\ 4u+3v=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}v=3-2u\\ 4u+3\left(3-2u\right)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}v=3-2u\\ u=4\left(tm\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=4\\ v=-5\left(tm\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+2y}=4\\ \frac{1}{2x+y}=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4x+8y=1\\ -10x-5y=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{13}{60}\left(tm\right)\\ y=\frac{7}{30}\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là x tấn,

Gọi khối lượng quặng chứa 50% sắt đem trộn là y tấn (x, y > 0)

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=25\\ 75\%x+50\%y=66\%.25\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=25\\ 0,75x+0,5y=16,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}0,5x+0,5y=12,5\\ 0,75x+0,5y=16,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}0,25x=4\\ x+y=25\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là 16 tấn

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+my=1\\ mx+2y=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1-mx}{2}\\ 2x+\frac{m\left(1-mx\right)}{2}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1-mx}{2}\\ \left(4-m^2\right)x=2-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1-mx}{2}\\ \left(2-m\right)\left(2+m\right)x=2-m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Nếu m = 2$\Rightarrow$0x = 0 hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = − 2$\Rightarrow$0x = 4 hệ phương trình vô nghiệm

Nếu $m\ne \pm 2$

$\Rightarrow$(2 + m)x = 1

$$\begin{gathered} \Rightarrow x=\frac{1}{2+m} \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2+m} \\ \Rightarrow M\left(\frac{1}{2+m};\frac{1}{2+m}\right) \end{gathered}$$

Nhận thấy: M có tọa độ thỏa mãn tung độ = hoành độ

M nằm trên đường thẳng (d): x = y

$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ mx-y=m\end{array}\right.$

$\Rightarrow$x + mx = 2 + m

$\Rightarrow$x (m + 1) = m + 2.

Nếu m = −1$\Rightarrow$ 0x = 1 (vô lý)

Nếu m $\ne$1

$\Rightarrow x=\frac{m+2}{m+1}=1+\frac{1}{m+1}$

Để hệ phương trình có nghiệm nguyên duy nhất $\Rightarrow$x nguyên

$\Rightarrow$m + 1 = $\pm$1

$\Rightarrow$ m = 0; m = −2

Với m = 0$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$(tm)

Với m = −2$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$(tm)

Gọi thời gian người thứ người thứ 1 làm một mình xong công việc là: x (ngày);

(x > 5,5)

Gọi thời gian người thứ người thứ 2 làm một mình xong công việc là: y (ngày);

(y > 5,5)

1 ngày người thứ nhất làm là $\frac{1}{x}$ công việc

1 ngày người thứ hai làm là $\frac{1}{y}$ công việc

Theo bài ra: người thứ nhất làm trong 7 ngày, người thứ 2 làm trong 5,5 ngày thì xong công việc nên ta có:

$\frac{7}{x}+\frac{5,5}{y}=1$ (1)

Vì làm một mình người thứ nhất lâu hơn người thứ hai là 3 ngày nên ta có:

x – y = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{7}{x}+\frac{5,5}{y}=1\\ x-y=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ \frac{7}{y+3}+\frac{5,5}{y}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 7y+5,5y+16,5=y^2+3y\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ y^2-9,5y-16,5=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ \left[\begin{array}{l}y=11\left(tmdk\right)\\ y=-1,5\left(ktmdk\right)\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=11\\ x=14\end{array}\right. \end{gathered}$$

vậy người thứ hai làm xong công việc một mình trong 11 (ngày); người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 14 (ngày)

Đáp án cần chọn là: A

Giải thích:

Gọi vận tốc dự định của ca nô là

x (km/h, x > 3)

Thời gian dự định đi từ A đến B là y (h, y > 0)

Quãng đường AN là xy (km)

Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2h nên ta có phương trình:

(x + 3) (y – 2) = xy (1)

Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3h nên ta có phương trình:

(x – 3) (y + 3) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+3\right)\left(y-2\right)=xy\\ \left(x-3\right)\left(y+3\right)=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2x+3y=6\\ 3x-3y=9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=15\left(tmdk\right)\\ y=12\left(tmdk\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc dự định của ca nô là 15 km/h

và thời gian dự định đi từ A đến B là 12h

Gọi: x (cm) là chiều rộng của hình chữ nhật (0 < x < 150)

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

300 : 2 = 150 (cm)

Chiều dài của hình chữ nhật là: 150 – x (cm)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:

x(150 – x) = 150x – x²

Chiều rộng sau khi thêm 5cm là: x +5

Chiều dài sau khi giảm 5 cm là:

150 – x – 5 = 145 – x (xm)

Diện tích hình chữ nhật sau khi thay đổi kích thước là:

(x + 5)(145 – x) = 725 + 140 – x²

Diện tích hình chữ nhật tăng 275 cm² nên ta có phương trình:

(725 + 140 – x²) − (150x – x²) = 275

$\iff$725 + 140 x − x² − 150x + x² = 275

$\iff$10x = 450$\iff$x = 45 (tmdk)

Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là: 45 cm

Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là:

150 – 45 = 105 cm

+) Xét y = 0 hệ phương trình đã cho trở thành $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1=0\\ \left(x^2+1\right)\left(x-2\right)=0\end{array}\right.$ (vô lý)

+) Xét y 0 chia các vế của từng phương trình cho y ta được:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+1}{y}+y+x=4\\ \frac{x^2+1}{y}\left(y+x-2\right)=1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} Đặt\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+1}{y}=a\\ y+x-2=b\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ ab=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2-b\\ a(2-a)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\ a^2-2a+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\ {\left(a-1\right)}^2=0\end{array}\right. \\ \iff a=b=1 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2+1}{y}=1\\ y+x-2=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ x+y=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ x+x^2+1=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ x^2+x-2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ \left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.\left(tm\right)\\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=5\end{array}\right.\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$