TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (có đáp án 2024) – Toán 9

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3\left(y+3\right)-4y=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (10; 7)

Do đó: x²y = 10².7 = 700

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(y-5\right)+2\left(x-3\right)=0\\ 7\left(x-4\right)+3\left(x+y-1\right)-14=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y-15+2x-6=0\\ 7x-28+3x+3y-3-14=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=21\\ 10x+3y=45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y=21-2x\\ 10x+21-2x=45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y=21-2x\\ 8x=24\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ 3y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (3; 5)

$\Rightarrow$ x² + y² = 3² + 5² = 34

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}-x-\sqrt{2}y=\sqrt{3}\\ \sqrt{2}x+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\\ \sqrt{2}\left(-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\right)+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\\ -2y-\sqrt{6}+2y=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\\ -\sqrt{6}=-\sqrt{6}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y\in ℝ\\ x=-\sqrt{2}y-\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)\left(y-3\right)=xy-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy-x+y-1=xy-1\\ xy-3x-3y+9=xy-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ -3x-3y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ -3x-3y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ -6y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = (2; 2)

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2.1+b.(-2)=-1\\ b.1-2a.(-2)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-3\\ b+4a=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}+4a=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ a=-\frac{1}{8}\end{array}\right. \\ \Rightarrow a-b=-\frac{13}{8} \end{gathered}$$

Vậy a – b = $-\frac{13}{8}$

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được $\left\{\begin{array}{l}2+b(-2)=-4\\ b-a(-2)=-5\end{array}\right.$

Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b và giải hệ phương trình này

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2+b(-2)=-4\\ b-a(-2)=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-6\\ b+2a=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ 3+2.a=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra a + b = −4 + 3 = −1

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d₁ ta được:

m.(−2) – 2(3n + 2).3 = 6

$\iff$ −2m – 18n = 18

$\iff$ m + 9n = −9

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d₂ ta được:

(3m – 1). (−2) + 2n.3 = 56

$\iff$−6m + 2 + 6n = 56

$\iff$ m – n = −9

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m+9n=-9\\ m-n=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=-9+n\\ -9+n+9n=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=-9+n\\ 10n=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=0\\ m=-9\end{array}\right. \\ \Rightarrow m.n = 0 \end{gathered}$$

Vậy m. n = 0

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ta được 3a + b = −5

Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng ta được a + b = 2

Từ đó ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ 3a+b=-5\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\ 3a+2-a=-5\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=2-a\\ 2a=-7\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{7}{2}\\ b=\frac{11}{2}\end{array}\right.\\ \end{array}$

Vậy $a=\frac{-7}{2};b=\frac{11}{2}$

Điều kiện: x$\ne$0; y$\ne$0

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b$

khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=1\\ 3a+4b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1+b\\ 3\left(1+b\right)+4b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1+b\\ 7b=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{7}\\ a=1+\frac{2}{7}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{9}{7}\\ b=\frac{2}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lại biến ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{9}{7}\\ \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{9}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$

(Thỏa mãn điều kiện)

Khi đó 9x + 2y = $9.\frac{7}{9}+2.\frac{7}{2}=14$

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được 2a + b = 1

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được −2a + b = 3

Từ đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ -2a+b=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=1-2a\\ -2a+1-2a=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=1-2.\left(-\frac{1}{2}\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=-\frac{1}{2}$; b = 2

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x+y}+\frac{5}{x+2y}=\frac{5}{6}\\ \frac{3}{2x+y}-\frac{4}{x+2y}=-\frac{3}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2.\frac{1}{2x+y}+5.\frac{1}{x+2y}=\frac{5}{6}\\ 3.\frac{1}{2x+y}-4.\frac{1}{x+2y}=-\frac{3}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đặt $\frac{1}{2x+y}=a;\frac{1}{x+2y}=b$

ta được hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2a+5b=\frac{5}{6}\\ 3a-4b=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Thay x = 1; y = 3 vào hệ ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2.1+b.3=a\\ b.1+a.3=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a-3b=2\\ 3a+b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3a-9b=6\\ 3a+b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}10b=-1\\ 3a+b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{-1}{10}\\ a=\frac{17}{10}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=\frac{17}{10};b=\frac{-1}{10}$

thì hệ phương trình có nghiệm

x = 1; y = 3$\Rightarrow$10(a + b) = 16

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d₁ ta được:

m.(−5) – 2(3n + 2).2 = 18

$\iff$ −5m – 12n − 8 = 18

$\iff$ 5m + 12n = −26

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d₂ ta được:

(3m – 1). (−5) + 2n.2 = −37

$\iff$−15m + 5 + 4n = −37

$\iff$ 15m – 4n = 42

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5m+12n=-26\\ 15m-4n=42\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5m+12n=-26\\ n=\frac{15m-42}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=\frac{15m-42}{4}\\ 5m+12.\frac{15m-42}{4}=-26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=\frac{{\displaystyle 15m-42}}{{\displaystyle 4}}\\ 5m+3\left(15m-42\right)=-26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=\frac{{\displaystyle 15m-42}}{{\displaystyle 4}}\\ 50m-126=-26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m = 2; n = −3

Ta có :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x-7y=8\\ 1-x+3y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{8+7y}{2}\\ 10.\left(\frac{8+7y}{2}\right)+3y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{8+7y}{2}\\ 40+35y+3y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 8+7y}}{{\displaystyle 2}}\\ 38y=-19\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 8+7y}}{{\displaystyle 2}}\\ y=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\\ x=\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 4}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = $\left(\frac{9}{4};-\frac{1}{2}\right)$

$\Rightarrow$ x + y = $\frac{7}{4}$

Điều kiện: x$\ne$0; y$\ne$0

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{4}\\ \frac{5}{6x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}.\frac{1}{x}+\frac{1}{3}.\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\\ \frac{5}{6}.\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b$ khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}.a+\frac{1}{3}.b=\frac{1}{4}\\ \frac{5}{6}.a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}.a+\frac{1}{3}.b=\frac{1}{4}\\ b=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\\ \frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b=\frac{1}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\\ \frac{1}{3}a+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\right)=\frac{1}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}a\\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}a+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 9}}-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 18}}a=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}a\\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 18}}b=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 36}}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\\ a=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay lại cách đặt ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$

(Thỏa mãn điều kiện)

Khi đó x – 3y = 4 – 3.2 = −2

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3x-9y}+\frac{6}{x+\sqrt{y}}=3\\ \frac{4}{x-3y}-\frac{9}{x+\sqrt{y}}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}.\frac{1}{x-3y}+6.\frac{1}{x+\sqrt{y}}=3\\ 4.\frac{1}{x-3y}-9.\frac{1}{x+\sqrt{y}}=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đặt $\frac{1}{x-3y}=a$; $\frac{1}{x+\sqrt{y}=b}$

ta được hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}a+6b=3\\ 4a-9b=1\end{array}\right.$

Thay x = −1; y = −2 vào hệ ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3a\left(-1\right)+\left(-2\right)=b\\ 2.a\left(-1\right)-2b\left(-2\right)=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-3a-2=b\\ -2a+4b=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-2-3a\\ -2a+4\left(-2-3a\right)=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-2-3a\\ 14a=-11\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=\frac{-11}{14};b=\frac{5}{14}$ thì hệ phương trình có nghiệm x = −1; y = −2

$\Rightarrow$14(a – b) = −16

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{15x}{\sqrt{y}}-\frac{7\sqrt{x}}{y}=9\\ \frac{4x}{\sqrt{y}}+\frac{9\sqrt{x}}{y}=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}15.\frac{x}{\sqrt{y}}-7.\frac{\sqrt{x}}{y}=9\\ 4.\frac{x}{\sqrt{y}}+9.\frac{\sqrt{x}}{y}=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đặt $\frac{x}{\sqrt{y}}=a$; $\frac{\sqrt{x}}{y}=b$ ta được hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}15a-7b=9\\ 4a+9b=5\end{array}\right.$

Ta sử dụng:

Đa thức P(x) chi hết cho đa thức (x – a)khi và chỉ khi P(a) = 0

Áp dụng mệnh đề trên

với a = −1, rồi với a = 3, ta có:

P(−1) = m(−1)³ + (m – 2)(−1)² – (3n – 5)(−1) – 4n

= −n – 7

P(3) = m.3³ + (m – 2).3² – (3n – 5).3 – 4n

= 36m – 13n – 3

Theo giả thiết, P(x) chia hết cho x + 1

nên P(−1) = 0 tức là –n – 7 = 0

Tương tự, vì P(x) chia hết cho x – 3

nên P(3) = 0 tức là 36m – 13n – 3 = 0

Vậy ta giải hệ phương trình

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}-n-7=0\\ 36m-13n-3=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=-7\\ 36m-13.\left(-7\right)-3=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=-7\\ m=-\frac{22}{9}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $m=-\frac{22}{9};n=-7$

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\ 2x-3y=m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 7y=m+6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5m+9}{7}\\ y=\frac{m+6}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x; y) = $\left(\frac{5m+9}{7};\frac{m+6}{7}\right)$

Lại có x + y = −3

hay $\frac{5m+9}{7}+\frac{m+6}{7}=-3$

$\iff$5m + 9 + m + 6 = −21

$\iff$6m = −36 $\iff$ m = −6

Vậy với m = −6 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y = −3