Giải Toán 6 Bài 7 (Cánh diều): Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết

Giải Toán 6 Bài 7: Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết

Trả lời câu hỏi giữa bài

Giải Toán 6 trang 30 Tập 1

Toán lớp 6 trang 30 Câu hỏi khởi động: Lớp 6A có 6 tổ học sinh. Để tổ chức liên hoan cho lớp, cô Ngân đã mua 42 chiếc bánh ngọt và 45 quả quýt.

Cô Ngân có thể chia đều số bánh ngọt cho 6 tổ được không?

Cô Ngân có thể chia đều số quả quýt cho 6 tổ được không?

Lời giải:

Để biết cô Ngân có chia đều số bánh ngọt và số quả quýt cho 6 tổ hay không thì ta thực hiện phép chia.

Ta có: 42 : 6 = 7 ; 45 : 6 = 7 (dư 3).

Khi đó ta nói 42 chia hết cho 6 và 45 không chia hết cho 6 (qua bài học dưới này ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn)

Vậy cô Ngân có thể chia đều số bánh ngọt cho 6 tổ và không thể chia đều số quả quýt cho 6 tổ.

Toán lớp 6 trang 30 Hoạt động 1:

a) Thực hiện các phép tính 42 : 6 và 45 : 6

b) Trong hai phép chia trên, phép chia nào là phép chia hết, phép chia nào là phép chia có dư?

Lời giải:

a) 42 : 6 = 7 ; 45 : 6 = 7 (dư 3).

b) Khi đó ta có:

* 42 = 6 . 7 nên 42 chia hết cho 6

* Do 45 chia cho 6 dư 3 nên 45 không chia hết cho 6.

Toán lớp 6 trang 30 Luyện tập 1: Viết ngày và tháng sinh của em dưới dạng ngày a tháng b. Chỉ ra một ước của a và hai bội của b.

Lời giải:

Giả sử em sinh ngày 14 tháng 6 năm 2010. Khi đó a = 14 và b = 6.

Ta có: 14 = 2 . 7 nên 14 chia hết cho 2. Do đó 2 là một ước của 14.

Lại có: 6 . 2 = 12 và 6 . 3 = 18 nên 12 và 18 đều chia hết cho 6.

Do đó 12 và 18 là hai bội của 6.

Tương tự các em có thể lấy các ví dụ khác.

Giải Toán 6 trang 31 Tập 1

Toán lớp 6 trang 31 Hoạt động 2:

a) Thực hiện các phép tính: 9 . 0; 9 . 1; 9 . 2; 9 . 3; 9 . 4; 9 . 5; 9 . 6.

b) Hãy chỉ ra bảy bội của 9.

Lời giải:

a) Ta có: 9 . 0 = 0; 9 . 1 = 9; 9 . 2 = 18; 9 . 3 = 27; 9 . 4 = 36; 9 . 5 = 45; 9 . 6 = 54.

b) Theo câu a, ta thấy các số 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54 đều chia hết cho 9 nên bảy bội của 9 là: 0; 9; 18; 27; 36; 45; 54.

Toán lớp 6 trang 31 Luyện tập 2:

a) Viết các bội nhỏ hơn 30 của 8.

b) Viết các bội có hai chữ số của 11.

Lời giải:

a) Để tìm các bội của 8, ta lần lượt nhân 8 với 0; 1; 2; 3; 4; …

Vì đề bài yêu cầu các bội của 8 nhỏ hơn 30 nên ta lần lượt nhân 8 với 0; 1; 2; 3 (vì 8.4 = 32 > 30).

Do đó: ta được các bội nhỏ hơn 30 của 8 là: 0; 8; 16; 24.

b) Để tìm các bội của 11 ta lần lượt lấy 11 nhân với 0; 1; 2; 3; ….

Đề bài yêu cầu tìm các bội có hai chữ số của 11 nên ta lần lượt lấy 11 nhân với 1; 2; 3; …; 9. (Vì 11. 0 = 0 là số có một chữ số và 11 . 10 = 110 là số có ba chữ số)

Vậy ta được các bội có hai chữ số của 11 là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99.

Toán lớp 6 trang 31 Hoạt động 3:

a) Tìm số thích hợp ở ?:

8 : 1 = ?; 8 : 5 = ? (dư ?);

8 : 2 = ?; 8 : 6 = ? (dư ?);

8 : 3 = ? (dư ?); 8 : 7 = ? (dư ?);

8 : 4 = ?; 8 : 8 = ?;

b) Hãy chỉ ra các ước của 8.

Lời giải:

a) Ta có:

8 : 1 = 8

8 : 2 = 4

8 : 3 = 2 (dư 2)

8 : 4 = 2

8 : 5 = 1 (dư 3)

8 : 6 = 1 (dư 2)

8 : 7 = 1 (dư 1)

8 : 8 = 1.

b) Theo câu a, ta có 8 chia hết cho các số 1; 2; 4; 8 nên các ước của 8 là: 1; 2; 4; 8.

Giải Toán 6 trang 32 Tập 1

Toán lớp 6 trang 32 Luyện tập 3: Tìm các ước của 25.

Lời giải:

Để tìm các ước của 25, ta lần lượt thực hiện phép chia số 25 cho các số tự nhiên từ 1 đến 25. Các phép chia hết là:

25 : 1 = 25; 25 : 5 = 5; 25 : 25 = 1.

Vậy các ước của 25 là 1; 5 và 25.

Toán lớp 6 trang 32 Hoạt động 4: Chỉ ra số thích hợp cho ? theo mẫu:

Lời giải:

+) Ta có: 6 . 2 = 12 và 6 . 6 = 36 nên 12 và 36 đều chia hết cho 6.

Khi đó: 12 + 36 = 48 = 6 . 8 nên 48 cũng chia hết cho 6.

+) Lại có: 9 . 5 = 45 và 9 . 7 = 63 nên 45 và 63 đều chia hết cho 9.

Khi đó 45 + 63 = 108 = 9 . 12 nên 108 cũng chia hết cho 9.

Vậy ta có thể điền vào bảng trên các số như sau:

Tương tự, các em có thể chọn số thích hợp tùy ý điền vào bảng.

Toán lớp 6 trang 32 Luyện tập 4 : Không tính tổng, hãy giải thích tại sao A = 1 930 + 1 945 + 1 975 chia hết cho 5.

Lời giải:

Ta có:

1 930 : 5 = 386;

1 945 : 5 = 389;

1 975 : 5 = 395.

Do đó các số 1 930; 1 945 và 1 975 đều chia hết cho 5 nên theo tính chất chia hết của một tổng thì tổng A = 1 930 + 1 945 + 1 975 chia hết cho 5.

Toán lớp 6 trang 32 Hoạt động 5: Chỉ ra số thích hợp cho ? theo mẫu:

Lời giải:

Ta có:

+) 8 . 7 = 56 và 8 . 2 = 16 nên các số 56 và 16 đều chia hết cho 8

Khi đó: 56 – 16 = 40 = 8 . 5 nên 40 chia hết cho 8.

+) 11 . 10 = 110 và 11 . 3 = 33 nên các số 110 và 33 đều chia hết cho 11

Khi đó: 110 – 33 = 77 = 11 . 7 nên 77 chia hết cho 11.

Vậy ta có thể điền các số vào bảng trên như sau:

Tương tự, các em có thể chọn số thích hợp tùy ý điền vào bảng.

Giải Toán 6 trang 33 Tập 1

Toán lớp 6 trang 33 Luyện tập 5: Không tính hiệu, hãy giải thích tại sao A = 2 020 – 1 820 chia hết cho 20.

Lời giải:

Ta có:

2 020 : 20 = 101;

1 820 : 20 = 91;

Do đó các số 2 020 và 1 820 đều chia hết cho 20 nên theo tính chất chia hết của một hiệu ta có hiệu A = 2 020 – 1 820 chia hết cho 20.

Toán lớp 6 trang 33 Hoạt động 6: Chỉ ra số thích hợp cho ? theo mẫu:

Lời giải:

Ta có:

+) 10 . 10 = 100 nên 100 là số chia hết cho 10, lấy số 3 tùy ý, ta có:

100 . 3 = 300 = 10 . 30 nên 300 là số chia hết cho 10.

+) 15 . 5 = 75 nên 75 là số chia hết cho 15, lấy số 4 tùy ý, ta có:

75 . 4 = 300 = 15 . 20 nên 300 là số chia hết cho 15.

Vậy ta có thể điền các số vào bảng trên như sau:

Tương tự, các em có thể chọn số thích hợp tùy ý điền vào bảng.

Toán lớp 6 trang 33 Luyện tập 6: Không tính giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao A = 36 . 234 + 217 . 24 – 54 . 13 chia hết cho 6.

Lời giải:

Ta có: 36 : 6 = 6; 24 : 6 = 4; 54 : 6 = 9.

Nên các số 36; 24; 54 đều là các số chia hết cho 6, áp dụng tính chất chia hết của một tích ta có:

36 . 234; 217. 24; 54 . 13 đều là các tích chia hết cho 6.

Khi đó: A = 36 . 234 + 217 . 24 – 54 . 13 chia hết cho 6.

(Theo tính chất chia hết của một tổng và tính chất chia hết của một hiệu).

Bài tập

Giải Toán 6 trang 34 Tập 1

Toán lớp 6 trang 34 Bài 1: Chỉ ra bốn bội của số m, biết:

a) m = 15;

b) m = 30;

c) m = 100.

Lời giải:

Vì một số tự nhiên khác 0 có vô số bội nên ta mỗi học sinh có thể chọn các bội khác nhau của số m tùy ý thích hợp. Ví dụ các em có thể làm như sau.

a) m = 15

Để tìm bốn bội của 15, ta lần lượt lấy 15 nhân với 0; 1; 2; 3

Vậy ta được bốn bội của 15 là: 0; 15; 30 và 45.

b) m = 30

Để tìm bốn bội của 30, ta lần lượt lấy 30 nhân với 0; 1; 2; 3

Vậy ta được bốn bội của 30 là: 0; 30; 60; 90.

c) m = 100

Để tìm bốn bội của 100, ta lần lượt lấy 100 nhân với 0; 1; 2; 3

Vậy ta được bốn bội của 100 là: 0; 100; 200; 300.

Tương tự cách làm trên, mỗi em học sinh có thể tìm được bốn bội khác nhau tùy ý thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 2: Tìm tất cả các ước của số n, biết:

a) n = 13;

b) n = 20;

c) n = 26.

Lời giải:

a) n = 13

Để tìm các ước của số 13, ta lần lượt thực hiện phép chia số 13 cho các số tự nhiên từ 1 đến 13. Các phép chia hết là:

13 : 1 = 13;

13 : 13 = 1.

Vậy các ước của số 13 là 1 và 13.

b) n = 20

Để tìm các ước của số 20, ta lần lượt thực hiện phép chia số 20 cho các số tự nhiên từ 1 đến 20. Các phép chia hết là:

20 : 1 = 20;

20 : 2 = 10;

20 : 4 = 5;

20 : 5 = 4;

20 : 10 = 2;

20 : 20 = 1.

Vậy các ước của số 20 là: 1; 2; 4; 5; 10 và 20.

c) n = 26

Để tìm các ước của số 26, ta lần lượt thực hiện phép chia số 26 cho các số tự nhiên từ 1 đến 26. Các phép chia hết là:

26 : 1 = 26;

26 : 2 = 13;

26 : 13 = 2;

26 : 26 = 1.

Vậy các ước của số 26 là: 1; 2; 13 và 26.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết x là bội của 9 và 20 < x < 40.

Lời giải:

Vì x là bội của 9 nên trước tiên, ta đi tìm các bội của 9, ta lần lượt lấy 9 nhân với 0; 1; 2; 3; 4; 5; …

Ta được các bội của 9 là: 0; 9; 18; 27; 36; 45; …

Mà 20 < x < 40

Vậy số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là 27; 36.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 4: Đội Sao đỏ của trường có 24 bạn. Cô phụ trách muốn chia cả đội thành các nhóm đều nhau để kiểm tra vệ sinh lớp học, mỗi nhóm có ít nhất 2 bạn. Em hãy chia giúp cô giáo bằng các cách có thể.

Lời giải:

Vì các nhóm có số bạn đều nhau nên số bạn của mỗi nhóm phải là ước của 24.

Ta đi tìm các ước của số 24, ta thực hiện phép chia số 24 cho các số tự nhiên từ 1 đến 24. Các phép chia hết là:

24 : 1 = 24; 24 : 2 = 12;

24 : 3 = 8; 24 : 4 = 6;

24 : 6 = 4; 24 : 8 = 3;

24 : 12 = 2; 24 : 24 = 1.

Do đó các ước của 24 là 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Vì mội đội có ít nhất hai bạn nên cô phụ trách có thể chia đội thành:

+ Nếu mỗi nhóm có 2 bạn thì số nhóm là: 24 : 2 = 12 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 3 bạn thì số nhóm là: 24 : 3 = 8 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 4 bạn thì số nhóm là: 24 : 4 = 6 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 6 bạn thì số nhóm là: 24 : 6 = 4 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 8 bạn thì số nhóm là: 24 : 8 = 3 (nhóm)

+ Nếu mỗi nhóm có 12 bạn thì số nhóm là: 24 : 12 = 2 (nhóm)

Một nhóm không thể có 24 bạn, vì 24 là tổng sổ bạn của cả đội Sao đỏ.

Vậy cô có thể chia đội thành:

+ 12 nhóm mỗi nhóm có 2 bạn;

+ 8 nhóm mỗi nhóm có 3 bạn;

+ 6 nhóm mỗi nhóm có 4 bạn;

+ 4 nhóm mỗi nhóm có 6 bạn;

+ 3 nhóm mỗi nhóm có 8 bạn;

+ 2 nhóm mỗi nhóm có 12 bạn.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 5: Hãy tìm đáp án đúng trong các đáp án A, B, C và D:

a) Nếu $m⋮4$ và $n⋮4$ thì m + n chia hết cho

A. 16.

B. 12.

C. 8.

D. 4.

b) Nếu $m⋮6$ và $n⋮2$ thì m + n chia hết cho

A. 6.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải:

a) Vì $m⋮4$ và $n⋮4$ thì m + n chia hết cho 4 (áp dụng tính chất chia hết của một tổng).

Do đó trong bốn đáp án đã cho, ta chọn đáp án D.

b) Ta có: 6 = 2 . 3

Mà $m⋮6$ nên suy ra $m⋮2$

Lại có $n⋮2$

Do đó: m + n cũng chia hết cho 2 (tính chất chia hết của một tổng)

Do đó trong bốn đáp án đã cho, ta chọn đáp án D.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 6 : Chỉ ra ba số tự nhiên m, n, p thỏa mãn các điều kiện sau: m không chia hết cho p và n không chia hết cho p nhưng m + n chia hết cho p.

Lời giải:

Ta có thể đưa ra nhiều bộ ba số thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau:

+ Ví dụ 1. Các số 7; 9 và 2.

Ta có 7 không chia hết cho 2 và 9 cũng không chia hết cho 2 nhưng 7 + 9 = 16 lại chia hết cho 2.

+ Ví dụ 2. Các số 13; 19 và 4.

Ta có 13 không chia hết cho 4 và 19 cũng không chia hết cho 4 nhưng 13 + 19 = 32 lại chia hết cho 4.

+ Ví dụ 3. Các số 33; 67 và 10.

Ta có 33 không chia hết cho 10 và 67 cũng không chia hết cho 10 nhưng 33 + 67 = 100 lại chia hết cho 10.

Tương tự, các em có thể đưa ra các bộ ba số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Qua bài tập 6 này, ta rút ra nhận xét như sau:

Nếu m chia hết cho p và n chia hết cho p thì tổng m + n chia hết cho p nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng.

Nếu tổng m + n chia hết cho p thì chưa chắc m chia hết cho p và n chia hết cho p.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 7: Cho a và b là hai số tự nhiên. Giải thích tại sao nếu $\left(a+b\right)⋮m$ và $a⋮m$ thì $b⋮m$.

Lời giải:

Vì $\left(a+b\right)⋮m$ nên ta có số tự nhiên k $\left(k\ne 0\right)$ thỏa mãn a + b = m.k (1)

Tương tự, vì $a⋮m$ nên ta cũng có số tự nhiên h $\left(h\ne 0\right)$ thỏa mãn a = m.h

Thay a = m. h vào (1) ta được: m.h + b = m.k

Suy ra b = m.k – m.h = m.(k – h) (tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ).

Mà $m⋮m$ nên theo tính chất chia hết của một tích ta có $m\left(k-h\right)⋮m$.

Vậy $b⋮m.$

Toán lớp 6 trang 34 Bài 8: Một cửa hàng có hai loại khay nướng bánh. Loại khay thứ nhất chứa 3 chiếc bánh. Loại khay thứ hai chứa 6 chiếc bánh. Sau một số lần nướng bằng cả hai loại khay trên, người bán hàng đếm được số bánh làm ra là 125 chiếc. Hỏi người bán hàng đã đếm đúng hay sai số bánh làm được? Biết rằng mỗi lần nướng, các khay đều xếp đủ số bánh.

Lời giải:

Hai loại khay nướng bánh mỗi loại lần lượt chứa 3 chiếc bánh và 6 chiếc bánh.

Vì 3 chia hết cho 3 và 6 cũng chia hết cho 3 và mỗi lần nướng các khay đều được xếp đủ số bánh nên theo tính chất chia hết của một tích và một tổng thì tổng số bánh làm ra sau một số lần nướng bằng cả hai loại khay trên phải là số chia hết cho 3.

Mà 125 : 3 = 41 (dư 2) hay 125 không chia hết cho 3.

Vậy người bán hàng đã đếm sai số bánh làm được.

Toán lớp 6 trang 34 Bài 9: Một đoàn khách du lịch đi tham quan chợ nổi Cái Răng ở TP. Cần Thơ bằng thuyền, mỗi thuyền chở 5 khách du lịch. Sau đó một số khách trong đoàn rời địa điểm tham quan trước bằng thuyền to hơn, mỗi thuyền chở 10 khách du lịch. Hướng dẫn viên kiểm đếm số khách du lịch còn lại là 21 người. Hỏi hết quả kiểm đếm trên là đúng hay sai?

Lời giải:

Ban đầu mỗi thuyền chở 5 khách du lịch nên tổng số khách phải là số chia hết cho 5.

Một số khách rời đi bằng thuyền chở 10 khách du lịch nên số khách rời đi chia hết cho 10 mà 10 = 5. 2 nên số khách rời đi phải chia hết cho 5.

Do đó số khách còn lại cũng phải chia hết cho 5 (theo tính chất chia hết của một hiệu).

Mà 21 : 5 = 4 (dư 1) hay 21 không chia hết cho 5.

Vậy kết quả kiểm đếm là sai.

Lý thuyết Toán 6 Bài 7: Quan hệ chia hết. Tính chất chia hết – Cánh diều

I. Quan hệ chia hết

1. Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b $\left(b\ne 0\right)$.

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Ví dụ: 42 = 6 . 7 nên 42 chia hết cho 6.

Khi đó ta gọi 42 là bội của 6 và 6 là ước của 42.

Lưu ý:

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là $a⋮b$ .

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là $a\cancel{⋮}b$.

Ví dụ:

+ 4 chia hết cho 2, kí hiệu là $4⋮2$

+ 5 không chia hết cho 2, kí hiệu là $5\cancel{⋮}2$

Lưu ý: Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

+ a là ước của a;

+ a là bội của a;

+ 0 là bội của a;

+ 1 là ước của a.

Ví dụ:

0 và 7 là hai bội của 7.

1 và 12 là hai ước của 12.

2. Cách tìm bội và ước của một số

2.1 Cách tìm bội của một số

Để tìm các bội của $n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, …. Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.

Ví dụ: Tìm các bội nhỏ hơn 20 của 7.

Lời giải:

Để tìm các bội của 7 ta lần lượt nhân 7 với 0, 1, 2, 3,… ta được 0, 7, 14, 21,…

Các bội của 7 là: 0, 7, 14, 21,…

Mà cần tìm các bội của 7 nhỏ hơn 20 nên các số thỏa mãn yêu cầu là 0, 7, 14.

Vậy các bội nhỏ hơn 20 của 7 là 0, 7, 14.

2.2 Cách tìm ước của một số

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

Ví dụ: Tìm các ước của 15.

Lời giải:

Thực hiện phép chia số 15 cho lần lượt các số tự nhiên từ 1 đến 15. Các phép chia hết là: 15 : 1 = 15; 15 : 3 = 5; 15 : 5 = 3; 15 : 15 = 1.

Vì vậy, các ước của 15 là 1, 3, 5, 15.

II. Tính chất chia hết

1. Tính chất chia hết của một tổng

Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Cụ thể đối với tổng 2 số hạng:

Nếu $a⋮m$ và $b⋮m$ thì $\left(a+b\right)⋮m$ .

Khi đó ta có: (a + b) : m = a : m + b : m.

Ví dụ:

+ Ta có: $4⋮2$ và $6⋮2$ thì $\left(4+6\right)⋮2$.

Khi đó: $\left(4+6\right):2=4:2+6:2$.

+ Ta có: $9⋮3$, $12⋮3$ và $27⋮3$ thì $\left(9+12+27\right)⋮3$.

Khi đó: $\left(9+12+27\right):3=9:3+12:3+27:3.$

2. Tính chất chia hết của một hiệu

Tổng quát: Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Cụ thể:

Với $a\ge b$:

Nếu $a⋮m$ và $b⋮m$ thì$\left(a-b\right)⋮m$.

Khi đó ta có: (a – b) : m = a : m – b : m.

Ví dụ: Ta có: $2200⋮10$và $120⋮10$ thì $\left(2200-120\right)⋮10$.

Khi đó: $\left(2200-120\right):10=2200:10-120:10$.

3. Tính chất chia hết của một tích

Tổng quát: Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Cụ thể: Nếu $a⋮m$ thì $\left(a.b\right)⋮m$ với mọi số tự nhiên b.

Ví dụ: Ta thấy 50 chia hết cho 5 nên tích 50 . 2016 chia hết cho 5.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 6 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 8: Dấu hiệu chia hết cho 2, 5

Bài 9: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

Bài 10: Số nguyên tố. Hợp số

Bài 11: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất