Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài 2 căn 3 và 2

Giải Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 4.11 trang 78 Toán 9 Tập 1: Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $2\sqrt{3}$ và 2.

Lời giải:

Theo đề ta có hình vẽ:

Hình thoi ABCD có hai đường chéo lần lượt là $AC=2\sqrt{3};$ BD = 2 và AC cắt BD tại O. Khi đó AC ⊥ BD; O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $OA=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ và $OB=\frac{BD}{2}=\frac{2}{2}=1.$

Xét ∆OAB vuông tại O, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\tan \widehat{BAO}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}},$ suy ra $\widehat{BAO}=30°.$

Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có $\widehat{AOB}+\widehat{BAO}+\widehat{ABO}=180°.$

Suy ra $\widehat{ABO}=90°-\widehat{BAO}=90°-30°=60°.$

Hình thoi ABCD có AC, BD là đường chéo nên AC, BD lần lượt là tia phân giác của $\widehat{BAD},\widehat{ABC}.$

Mà $\widehat{A}=\widehat{C};\widehat{B}=\widehat{D}$ (tính chất hình thoi) nên $\widehat{A}=\widehat{C}=2\widehat{BAO}=2\cdot 30°=60°$ và $\widehat{B}=\widehat{D}=2\widehat{ABO}=2\cdot 60°=120°.$

Vậy $\widehat{A}=\widehat{C}=60°$ và $\widehat{B}=\widehat{D}=120°.$