Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AD = 16 cm, BC = 4 cm và góc A = góc B = góc ACD = 90 độ

Giải Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 4.12 trang 78 Toán 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AD = 16 cm, BC = 4 cm và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{ACD}=90°.$

a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh $\widehat{ADC}=\widehat{ACE}.$ Tính sin của các góc $\widehat{ADC},\widehat{ACE}$ và suy ra AC² = AE.AD. Từ đó tính AC.

b) Tính góc D của hình thang.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{ADC}+\widehat{DCE}=90°$ (hai góc nhọn trong ∆CDE vuông tại E) và $\widehat{ACE}+\widehat{DCE}=\widehat{ACD}=90°$ nên $\widehat{ADC}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ góc $\widehat{DCE}).$(1)

Xét ∆ACD vuông tại C, ta có $\sin \widehat{ADC}=\frac{AC}{AD}.$(2)

Xét ∆ACE vuông tại E, ta có $\sin \widehat{ACE}=\frac{AE}{AC}.$(3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra $\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC},$ do đó AC² = AE.AD.

Hình thang ABCD có AD // BC và AB ⊥ BC (do $\widehat{B}=90°)$ nên AB ⊥ AD.

Tứ giác ABCE có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{E}=90°$ nên ABCE là hình chữ nhật.

Suy ra AE = BC = 4 cm (tính chất hình chữ nhật).

Khi đó, AC² = 4.16 = 64 nên AC = 8 (cm) (do AC > 0).

b) Theo câu a, ta có $\sin \widehat{ADC}=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2},$ suy ra $\widehat{D}=30°.$